Bonjour, nous sommes le 30/03/2020 et il est 07 h 20.

REPUBLIQUE  DEMOCRATIQUE  DU  CONGO

UNIVERSITÉ PÉDAGOGIQUE DE KANANGA

U.P.KAN

B.P.  282- KANANGA

E-mail : isp_kananga30@yahoo.fr

                                                                          

FACULTE DE SCIENCES

DEPARTEMENT  DE MATHEMATIQUE INFORMATIQUE

 

 

 


SUJET: APPLICATION DE POLYNÔMES DE LEGENDRE À LA RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

Par KALONGA NTAMBUE ELISÉE 
Travail de Fin de Cycle  présenté et défendu en vue de l’obtention du titre de gradué en pédagogie appliquée.
Option : Mathématique informatique 
Dirigé par  Chef de travaux MUANDE WA KADIATA ROBERT
 

 

 

 

 


Défendu à l'institut Pédagogique de Kananga actuel université Pédagogique de kananga en juillet 2019

 

 

 

EPIGRAPHE

 

                On connait l’étonnement  des mathématiciens à constater que tous, autour d’eux, ne savent pas résoudre ne serait-ce qu’une équation du troisième degré , cet étonnement de ces hommes que tous ne leur soient pas égaux, et que cela heurte les fondements de la République, quand on accepte plus volontiers que chacun ne peut courir le cent mètres en dix secondes, cet agacement des hyper mnésiques aussi, à bien devoir prendre note qu’en règle générale on oublie tout assez vite.

                                                       « Patrick Deville »

 


 

DEDICACE

 

                A nos chers parents NTAMBUE Féli et META Rosette, pour tous leurs sacrifices, leur amour, leur tendresse, leurs prières tout au long de nos études.

                A nos frères et sœurs pour leurs encouragements permanents et leur soutien moral.

                A toute notre famille pour leur soutien tout au long de notre parcours universitaire.

Nous dédions ce travail.

                Que ce travail soit l’accomplissement de vos vœux tant allégués, et le fruit de votre soutien infaillible.

Merci d'être toujours là  pour nous.


 

REMERCIEMENTS

       

                L’élaboration de ce travail n’aurait jamais été possible sans l’intervention de certaines personnes dont les apports ne pourraient être qu’infiniment reconnus. Qu’elles trouvent ici l’expression de nos sincères remerciements pour leurs précieux conseils.

                Nous tenons tout d’abord à exprimer notre reconnaissance envers notre créateur Jéhovah pour la santé, l’intelligence, le courage et la détermination qui nous ont aidés et accompagnés tout au long de la préparation et l’élaboration de ce travail.

                Nous adressons de sincères remerciements à notre directeur de travail, le Chef de travaux MUANDE wa KADIATA Robert pour ses impulsions et ses suggestions, son regard critique et sa relecture attentive.

                Nous présentons nos profonds dévouements à notre tante TSHIPAMBA Symphorienne et son mari TSHISHIKU Célestin pour leur soutien financier tout au long de nos études.

                Nous tenons à exprimer nos sincères remerciements à tous nos enseignants du département de mathématique-informatique pour leur formation, en particulier l’Assistant TSHIBAMBA Corneille pour son suivi dans la saisie et la reliure de ce présent travail.

                Nos sincères remerciements s’adressent à tous les camarades : KUMUEDI Moïse, MUAMBA Jacques, KANYINDA Pèlerin, nos frères et sœurs chrétiens, NKONGOLO Dan, KINDA De Gaulles, NZEMBELA Consolation, MUTOMBO Joseph de Baïf et sa femme SAMBA Marlene, KALENGELE Hélène, nos amis KUMUAMBA Hénoch, KAYEMBE Albert, MUANZA Baron.

                Que nos frères, MPUTU Bernard, NGONDO Michel, MAYOYO Richard, nos sœurs, MBUYI Aly et son mari NSADI Samy, KANKU Féli, NGOLELA Marie, KABEYA Angel, qui nous ont tous encouragés à mener à bien cette recherche, trouvent ici l’expression de notre profonde gratitude.

                Nous adressons enfin une pensée spéciale à nos parents pour leur soutien dans nos choix et leur attention sans faille et dont les encouragements et l’amour inconditionnel  nous accompagnent depuis toujours.

                Que tous ceux qui, d’une manière ou d’une autre, ont rendu possible la réalisation de ce travail trouvent ici l’expression de notre profonde gratitude.


                                    INTRODUTION

 

                La notion de système de fonctions est apparue à travers l’étude   de certains problèmes d’analyse fonctionnelle (équations intégrales, séries de Fourier, problème de Sturm-Liouville et, plus généralement, les problèmes aux limites dans les équations aux dérivés partielles). Historiquement, les polynômes orthogonaux scalaires apparaissent comme un outil pour les fractions continues et sont étudiés par Tchebychev et Stieltjes. Ils apparaissent aussi en interpolation polynômiale, en développement en série de fonctions, en calcul approché ou exact d’intégrales et encore dans l’étude des approximants de Padé scalaires, vectoriels et matriciels et des fractions continues scalaires, vectoriels et matricielles.

                Les polynômes orthogonaux particuliers comme ceux de Legendre et Tchebychev permettent d’approcher une fonction et par leurs propriétés de résoudre plus simplement des équations  différentielles complexes, comme les équations aux dérivées partielles.

                Curieusement la documentation sur ce sujet est très rependue sur internet.

                Cependant, les polynômes de Legendre découlent de l’équation différentielle . Vu la nécessité du problème certaines questions peuvent êtres soulevées : qu’est-ce qu’une équation différentielle (respectivement équation aux dérivées partielles) ? Est-il possible de trouver la solution d’une équation aux dérivées partielles, particulièrement celle de Laplace sur une sphère par les polynômes de Legendre ? Si oui, quelles méthodes et quelles coordonnées faut-il utiliser pour y arriver?

                Certainement, en effectuant un changement des variables de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques et en utilisant la méthode de séparation des variables de Fourier, nous pourrons exprimer la solution de l’équation de Laplace sur une sphère par les polynômes de Legendre ().

                En lien avec ce sujet, les travaux présentés dans ce travail seront consacrés aux polynômes de Legendre qui vont se prolonger en diverses fonctions qui servent (entre autres) à résoudre l’équation de Laplace sur une sphère.

                D’un côté, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients  constants et aux équations aux dérivées partielles qui peuvent être résolues en utilisant diverses méthodes comme celles de changement et de séparation des variables. Mais nous pourrons  nous intéresser qu’à celle de séparation des variables de Fourier.

                Dans un  dernier temps, afin d’appliquer de manière intéressante, les polynômes de Legendre, nous nous sommes intéressés au changement de l’équation de Laplace :                 en coordonnées sphériques. Puisque nous connaissons cette dernière en coordonnées sphériques, il sera possible d’appliquer la méthode  de séparations  des variables qui nous conduira à trouver deux équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients non constants dépendant respectivement de r et de . L’équation différentielle qui nous intéressera est celle qui dépendra de  dont sa solution peut être trouvée en se servant  des polynômes de Legendre. Par contre, celle qui dépendra de r est appelée « équation d’Euler-Cauchy » et nos recherches ne nous permettront pas de la résoudre et elle ne nous intéressera pas.

Ce travail se décompose donc  en deux chapitres et d’une annexe.

                Le premier chapitre intitulé : « équations différentielles linéaires du second ordre »,  présente les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. On y définit les séries de Fourier, les équations                 aux dérivées partielles ainsi que la méthode de séparation des variables.

                Le deuxième chapitre intitulé « application des polynômes de Legendre à la résolution d’une équation aux dérivées partielles», présente les polynômes de Legendre à partir desquels nous exprimerons la solution de l’équation de Laplace déjà mise en coordonnées sphériques.

                L’annexe, intitulée «Approche pédagogique », présente deux fiches de préparations traitées sur les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants et les polynômes de Legendre.

                En rédigeant tout travail scientifique, les difficultés ne manquent toujours pas. En ce qui nous concerne, ça ne nous a pas été facile de comprendre aisément notre sujet et de poser sa problématique en vue de le traiter correctement. De fois, certains nous demandaient de pouvoir abandonner pour éviter les risques d’être bloqués à la longue et de chercher un sujet facile à traiter. Mais grâce aux conseils et  encouragements reçus auprès de notre directeur de travail, nous avons pris courage et avons trouvé que l’engagement et la volonté sont nécessaires pour réaliser tout travail scientifique qui semblerait difficile. Comme qui dirait « vouloir c’est pouvoir. »

                 Enfin d’arriver aux résultats de nos recherches, nous avons utilisé pour notre cas la méthode analytique et la technique documentaire. 


 

CHAPITRE PREMIER: EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE

1.1. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

1.1.1. Définition [5]

                Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est une expression de la forme              ), où  et   un ouvert de

1.1.2. Equation homogène [1]

                L’équation linéaire homogène du second ordre à coefficients constants est de la forme  où  sont des constantes réelles.

                Si  et  sont les racines de l’équation caractéristique  alors la solution générale de l’équation  peut se mettre sous l’une de trois formes suivantes :

 si et  sont réels et  ;

 si ;

 si  et

Quelques exemples [4]

1)  

2)  

3)  

Solution [4]

 1)  

L’équation caractéristique est     

 

Δ

 

 et  ;  et

2)  

L’équation caractéristique est     

Δ

Δ

 et

 et et

3)  

L’équation caractéristique est

Δ

Δ

 et

1.2. Equations aux dérivées partielles du second ordre

1.2.1. Définitions [8]

                Une équation aux dérivées partielles est une équation mathématique contenant en plus de la variable dépendante         ( ci-dessous) et les variables indépendantes  une ou plusieurs dérivées partielles. Cette équation est  de la forme :

 (3)

                Où  est une fonction de plusieurs variables indépendantes, alors nous considérons n-tuplet de variables indépendantes  comme appartenant à un  domaine  convenable de . Nous utiliserons EDP comme abréviation d’équations aux dérivées partielles.

                La solution de l’équation (3) est une fonction              des variables indépendantes  Dont les dérivées partielles apparaissant dans l’équation existent aux points de  et telle qu’après avoir substitué cette fonction et ses dérivées partielles dans l’équation (3), celle-ci est satisfaite.

L’ordre d’une EDP est l’ordre le plus élevé de la dérivée partielle.

Exemple [8]

1.  est un exemple d’EDP du second ordre pour le domaine

2.  est une EDP d’ordre 3 pour le domaine 

1.2.2 Classification aux conditions aux limites [6]

1. On appelle condition de Dirichlet, une condition où on impose la valeur de la fonction recherchée sur les bords (. Ce sont les conditions du type .

                Un problème du premier type est un problème où tout le bord est soumis à des conditions de Dirichlet.

2. On appelle condition de Neumann, une condition où on impose la valeur de la dérivée normale de la fonction recherchée sur le bord (. Elles sont de la forme  où  est fixé.

                Un problème du deuxième type est un problème où tout le bord est soumis à des conditions de Neumann.

3. On appelle condition de Fourier-robin (mixte), condition où on impose une relation entre la valeur normale de la fonction recherchée et sa valeur sur le bord. Elles sont du type              . Si les constantes  et  sont nulles, les conditions aux limites sont dites homogènes.

                On appelle problème du troisième type, un problème où les conditions sont du type différent sur des portions du bord.

                Le concept même de recherche de solution d’une EDP n’est pas forcément très clair et nécessite d’être reprécisé pour chaque problème. Un repère important est la notion des problèmes bien posés.

                Un problème est bien posé au sens de Hadamard s’il existe une unique solution qui dépend de données de façon continue.

1.3 Séries de Fourier 

1.3.1 Définition des séries de Fourier [7]

                Les séries de Fourier traitent naturellement les fonctions périodiques.

1. Définition

                Une fonction  est périodique de période  si    pour tout réel . Si  est le plus petit nombre strictement positif ayant cette propriété, on dira que  est           périodique.

2. Théorème de Dirichlet [1]

                On dit que la fonction  satisfait aux conditions de Dirichlet dans l’intervalle  si dans cet intervalle cette fonction :

1. est uniformément bornée, c’est-à-dire  pour tout             où  est une constante ;

2. n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité, la fonction          possède une limite gauche finie                                            ;

3. n’a qu’un nombre fini d’extremums.

                Le théorème de Dirichlet affirme que si une fonction continue  satisfait aux conditions de Dirichlet dans l’intervalle  alors, en chaque point  de cet intervalle, cette fonction peut être développée en série trigonométrique de Fourier.

 

3. Définition [7]

 Soit , pour tout réel . Alors on associe à  la série de Fourier :

, ,

,

,

,

                Ce sont les séries de Fourier de période de . Si la fonction  satisfait aux conditions de Dirichlet dans l’intervalle  de longueur .

Si la série converge, on remplace le signe  par le signe .

                Si la fonction  satisfait aux conditions de Dirichlet dans l’intervalle , on a le développement en série trigonométrique de Fourier suivant :

.

Calcul de

Intégrons les deux membres de la série de Fourier entre  et .

 

Scindons en deux intégrales

 

               

               

                Puisque  dans l’intervalle  et  est nul et connaissant que  est pair dans l’intervalle  et , on a : , ainsi donc:

 

D’Où

,

Calcul de

                Multiplions les deux membres de la série de Fourier par  et intégrons entre  et .

Puisque  car  entre  et  est égal à .

Pour ,

 

Car l’intégration donne sinus, et sinus entre  et  donne .

 

                L’intégrale donne cosinus, cosinus étant une fonction paire et entre  et  cosinus donne .

Pour ,

 

 

Donc

 

 

 

Calcul de            

                En multipliant les deux membres de la relation de la série de Fourier par   et en intégrant de  à , on a :

Puisque  car  entre  et  est égal à .

Pour ,

 

Car l’intégration donne cosinus, et cosinus étant une fonction paire entre  et  donne .

 

                L’intégrale donne sinus, sinus entre  et  donne 0.

Pour ,

 

 

Donc

 

,

Remarque [7]

Soit  la restriction à  d’une fonction d’une variable réelle périodique.

 pour tout  

Si  est suffisamment lisse, la série de Fourier converge pour tout .

1.3.2 CORROLAIRE (séries de Fourier de cosinus) [7]

                Soit une fonction  et  respectivement  ses coefficients de Fourier. Si  est paire, alors les  sont nuls et l’on associe  à la série de Fourier de cosinus. 

,

Où,

 ,        

,

1.3.2 CORROLAIRE (séries de Fourier de sinus) [7]

                Soit une fonction  et  respectivement  ses coefficients de Fourier. Si  est impaire, alors les   sont nuls et l’on associe  à la série de Fourier de sinus.

,

,

,

1.4 Méthode de Fourier (séparation des variables) [1]

                La séparation des variables transforme une équation aux dérivées partielles en plusieurs équations différentielles. Pour les problèmes aux limites sur un domaine géométrique donné, la séparation des variables est possible si les variables du problème sont les coordonnées naturelles du domaine, par exemple, les coordonnées cartésiennes, polaires, ou sphériques, respectivement, dans le cas d’un rectangle, d’un disque ou d’une sphère.

                Pour trouver la solution d’une EDP linéaire homogène par la méthode de Fourier, on cherche d’abord des solutions particulières d’un type spécial de cette équation dont chacune d’elles est le produit de fonctions dépendant d’une variable. Dans le cas simple, on trouve un ensemble infini de telles solutions  linéairement indépendantes entre elles pour tout ensemble fini et vérifiant les conditions aux limites données. La solution  qu’on cherche se met sous la forme de série par rapport à ces solutions particulières.

. On détermine les coefficients indéterminés   à l’aide des conditions initiales.

Exemple [1]

1. Séparer les variables de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre avec une condition au bord:

0,

Résolution.

On note les dérivées partielles

  ,

Posons

Dans l’équation aux dérivées partielles ; alors

               

On divise les deux membres par  on a :

                ,

Et par conséquent:

, une constante.

Donc

,

 

Et

 

On détermine les deux constantes,  et , au moyen de la condition sur le bord . Puisque

, pour tout ,

Alors

,

D’où la solution

, qui est unique.

 

2. Séparer les variables de l’EDP pour la corde vibrante:             qui satisfait aux conditions initiales                   ,  et les conditions aux limites ,

Solution

Cherchons des solutions particulières non nulles de l’équation d’un type spécial

  

Alors, 

En divisant les deux membres par

On a :

                Puisque les variables  et t sont indépendantes, l’égalité n’est possible que dans le cas où la valeur commune de la relation est constante.

                En désignant par  cette constante on aboutit à deux équations différentielles ordinaires.

 et

En intégrant ces équations, on trouve

  et

 et  sont des constantes arbitraires. Déterminons ces constantes.

                La condition aux limites nous donne:  et   . Par conséquent,  et  (puisque  ne peut pas s’annuler en même temps que ). Donc  est un nombre entier.

                On vérifie facilement qu’on ne nuit pas à la généralité en prenant  seulement les nombres entiers positifs                   ).

A chaque  correspond une solution particulière

                Vérifiant les conditions aux limites. Cette solution peut se mettre sous forme des séries.

Formons la série

,

                Choisissons les constantes  et de manière que la somme de la série vérifie les conditions initiales, puisque

 

Alors, on a en posant

 

Et

 

                Par conséquent, pour déterminer  et , il faut développer en séries de Fourier, suivant les sinus, la fonction  et la fonction. D’après les formules connues on a :

,

, .

La solution cherchée est

 

CHAPITRE DEUXIEME: APPLICATION DES POLYNOMES DE LEGENDRE A LA RESOLUTION D’UNE EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES

2.1 Polynômes de Legendre [3]

                Les polynômes de Legendre sont des solutions particulières de l’équation différentielle                                    . Pour entier, on les note : .

Définition et expression générale des polynômes de Legendre :

,

Ce qui donne :

,            

 

 

,

 et

.

2.2 Propriétés des polynômes de Legendre [9,2]

1. Degré                                     

Le polynôme  est de degré  ;

2. Parité

                Les polynômes de Legendre suivent la parité de . on peut exprimer cette propriété par : .

En particulier  et  ;

3. Formule d’Olinde Rodrigues : un polynôme d’ordre  peut se mettre sous la forme : ;

4. Fonction génératrice : .

                Les termes  sont les coefficients du développement en série de Mac Laurin de.

5. Formule de récurrence :

 ,

,

 ;

6. Zéros de polynômes. Racines de

 Elles sont toutes réelles, distinctes et comprises entre  et  ;

7. Orthogonalité :

                Une propriété importante des polynômes de Legendre est leur orthogonalité. Ainsi donc, pour tout  entiers tel que  on a :

 

Et pour tout  entiers tel que  on a :

 ou

8. Pour tout  entier

9. Le carré de la norme dans  est

Preuve [8]

Nous allons démontrer seulement (7) dans de cas où . Et pour l’orthogonalité nous allons vérifier que  et  sont orthogonaux.

v d) d

                              

                              

                              

                                

Donc

v Pour tout  entiers tel que  on a:

 ou

, considérons cette formule de Rodrigues.

                Et si  est un polynôme en , alors en utilisant l’intégration par partie plusieurs fois nous obtenons :

  

             

                

Si nous intégrons également par partie on aura :

  .

                Chaque fois que nous intégrons par partie, nous remarquons qu’il y a alternance de signe, alors si nous intégrons par partie n-fois on aura :

 Ce qui donnera :

 

Mais si  est un polynôme  de degré , alors

Donc

                         

                         

                Cette dernière intégrale peut être résolue de plusieurs façons. Par exemple, nous pouvons utiliser la substitution         et alors

 et ensuite évaluer cette dernière intégrale en intégrant par partie. Mais, il est aussi facile de considérer la substitution  Alors  et nous obtenons

.

                     

                     

                      

L’intégrale , on a alors

                  

L’intégrale restante  peut-être trouvée en considérant la fonction bêta on a :

 

                Où  est la définition de la fonction bêta. Il est bien connu que cette fonction est reliée à la fonction gamma

Donc ici  Parce que  et    si .

D’où  

Et

.

 


2.3 Expression de l’équation de Laplace en coordonnées polaires et sphériques [1,8]

1. Transformer l’équation de Laplace , en passant aux coordonnées polaires  et

Solution [1,8]

.

  

.

   

.

  

.

    

En substituant dans l’équation on a :

.

2. Transformer l’équation de Laplace  en passant aux coordonnées sphériques :  et

Solution [8]

.

  

 

 

    

.

  

 

 

        

    

.

  

 

       

En substituant dans l’équation de Laplace, on a :

.

Pour d’autres qui considérons les coordonnées sphériques         ci-dessous :

 et , trouverons :

.

 

 

 

 

 

 

 

 


2.4 Intégration de l’équation de Laplace [8]

1. On cherche à résoudre l’équation de Laplace  et on se place en coordonnées sphériques

.

                Supposant le système invariant par rotation autour de l’axe, la solution ne   dépendra que  de . Autrement dit,

.

                Comme d’habitude, nous utilisons la méthode de séparation des variables et nous cherchons une solution sous la forme

On a :  et

En substituant dans l’équation de Laplace on a :

.

En divisant les deux membres par  on aura :

, ce qui équivaut à :

 

                Le membre de gauche ne dépend que de r alors que le membre de droite ne dépend que de . Il existe donc une constante  telle que

(i)         

(ii)       

Considérons l’équation (ii) et effectuons le changement

On a :

Sachant que  on a :

 

En les substituant dans (ii) nous obtenons :

 

 

 

Considérant le changement  on a :

 

                Cette dernière équation est une équation classique et très connue : l’équation de Legendre. Il est possible de l’écrire sous la forme :

 

                Ainsi la solution est donnée par les polynômes  de Legendre  lorsque.

 


 

APPROCHE PEDAGOGIQUE

 

                Les notions développées dans ce travail de fin de cycle ne sont pas toutes enseignées au secondaire, sauf, celles des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants. Etant obligés d’aborder l’approche pédagogique, nous pourrons présenter dans ce chapitre deux fiches de préparations sur les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants et les polynômes de Legendre.

FICHE DE PREPARATION N°1

KALONGA NTAMBUE Elisée.

BRANCHE : MATHEMATIQUE.

SUJET DE LA LECON : EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS.

CLASSE : 6ème Scientifique

SUPPORT PEDAGOGIQUE : TN+CRAIES.

REFERENCES : BARANENKOU, G., et CIE, Recueil d’exercices et problèmes d’analyse mathématiques, 4èmeéd.MIR.MOSCOU, URSS(MOSCOU), 1972.

OBJECTIFS OPERATIONNELS : A l’issue de cette leçon, l’élève devra être capable de définir et résoudre une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.

METHODES ET MINUTAGE

MATIERE A ENSEIGNER

Interrogative ()

Soit à résoudre l’équation suivante : .

 

 

 

 

Soit , calculer  et  

 

Comment appelle-t-on l’expression de la forme       dépendant des variables indépendantes  et  et les dérivées successives de  ?

 

 

 

 

 

 

 

Active et participative ()

 

Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ?

 

 

 

 

Donner l’équation caractéristique de l’équation différentielle .

 

 

Que faut-il pour résoudre une équation différentielle linéaire homogène  du second ordre à coefficients constants ? 

 

 

Quels sont les trois cas qui peuvent se présenter lorsqu’on résout l’équation caractéristique                    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trouver la solution de chacune des équations différentielles suivantes :

1)  

2)  

3) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Active et participative (

Trouver la solution de l’équation différentielle :

.

I. INTRODUCTION

a. Rappel

 

   

    

 et

 

b. Motivation

 et

 

L’expression   est appelée « équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ».

 

c. Annonce et inscription du sujet dans les journaux des élèves

Aujourd’hui, nous étudions les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

II. DEVELOPPEMENT

 

1. Définition

Une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants est une expression de la forme , où

 

L’équation caractéristique de l’équation différentielle          est          .

 

Pour résoudre cette équation, il faut trouver d’abord les racines de l’équation caractéristique , alors trois cas peuvent se présenter :

 

1) Si ,  et  des réelles, alors la solution générale peut se mettre sous la forme         ;

2) Si , , alors la solution générale peut se mettre sous la forme,

 ;

 

3) Si , i et       i  alors la solution générale peut se mettre sous la forme             .

 

3. Exemples

1)  

L’équation caractéristique est     

Δ

         

Δ

 et  ; et la solution générale de l’équation  est :   

 

2)  

L’équation caractéristique est 

Δ =

.

Δ

 et

 et ; et la solution générale de l’équation  est :

.

 

3)  

L’équation caractéristique est

Δ

Δ.

 et la solution générale de l’équation  est : 

).

III.APLICATIONS

 

L’équation caractéristique est     

Δ 

         

Δ

 et  ; et la solution générale de l’équation  est :  

 

FICHE DE PREPARATION N°2

KALONGA NTAMBUE Elisée.

BRANCHE : MATHEMATIQUE.

SUJET DE LA LECON : POLYNOMES DE LEGENDRE.

SUPPORT PEDAGOGIQUE : TN+CRAIES.

REFERENCES : CHOSSAT, M., Mathématique de l’ingénieur collection aide-mémoire, 2ème éd. Dunod, Paris, 1977.

OBJECTIFS OPERATIONNELS : A l’issue de cette leçon, l’apprenant devra être capable de définir les polynômes de Legendre et les calculer à partir de l’expression générale.

METHODES ET MINUTAGE

MATIERE A ENSEIGNER

Interrogative ()

Donner un exemple d’une fonction polynôme.

 

 

 

 

 

 

Active et participative ()

Définir les polynômes de Legendre.

 

 

 

 

 

 

 

Donner l’expression générale des polynômes de Legendre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Considérant la formule générale des polynômes de Legendre trouver: ?

 

 

 

 

 

Active et participative (

Trouver:

1.

2.

3.

4.

I. INTRODUCTION

a. Rappel

.

b. Annonce et inscription du sujet dans les journaux des élèves

Aujourd’hui, nous étudions les polynômes de Legendre.

 

II. DEVELOPPEMENT   

1. Définition

Les polynômes de Legendre sont des solutions particulières de l’équation différentielle                                         pour  entier. On le note : .

 

2° Expression de

 

Définition et expression générale des polynômes de Legendre :

 

.

 

un polynôme d’ordre  peut se mettre sous la forme :            .

 

2. Exemples

.

,            

 

    .

  

III.APLICATIONS

,

,

,

 


CONCLUSION

                En parcourant des différents ouvrages traitant de l’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, nous n’avons trouvé que l’équation de Laplace               répondait à notre problématique. En transformant cette équation en coordonnées sphériques et tenant compte de la symétrie axiale, nous avons utilisé la méthode de la séparation des variables et nous avons trouvé deux équations différentielles du second ordre à coefficients non constants :  et . En effectuant le changement              , cette deuxième équation se réduit à  l’équation de Legendre.

                Enfin, d’autres chercheurs qui appliqueront la méthode d’Euler-Cauchy à la résolution de certaines équations aux dérivées partielles finiront, certainement, par trouver la solution  de l’équation : obtenue en séparant les variables de l’équation de Laplace ci-dessus, qui par nos recherches orientées dans une autre dimension, n’ont  pas abouti à sa résolution.

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

BIBLIOGRAPHIE

A.  OUVRAGES

1. BARANENKOU, G. et CIE, Recueil d’exercices et problèmes d’analyse mathématiques, 4ème éd.MIR.MOSCOU, URSS(MOSCOU), 1972.

2. CHOSSAT, M., Mathématique de l’ingénieur collection aide-mémoire, 2ème éd. Dunod, Paris, 1977. 

3. LAVRENTIEV, M. et CHABAT, B., Méthodes de la théorie des fonctions d’une variable complexe, 2ème éd. MIR.MOSCOU, URSS(MOSCOU), 1977.

B.  NOTES DE COURS

4. BAKANA, A., Notes de cours d’analyse2, Inédites, ISP/Kananga, 2016-2017.

5. KANKONDE, B., Notes de cours d’analyse1, Inédites, ISP/Kananga, 2015-2016.

6. KANKONDE, B., Notes de cours d’analyse3, Inédites, ISP/Kananga, 2018-2019.

C.  WEBOGRAPHIE

7. VAILLANCOURT, R., Mathématique de l’ingénieur, département de mathématiques, UNIVERSITE D’OTTAWA, OTTAWA, ON, CANADA, K1N6N5, <www.Site.Uattawa.Ca/rémi/ing.Pdf>, (Consulté le 08/03/2018).

8. BEDARD, R., Notes pour le cours équations aux dérivées partielles (sigle MAT4112), offert par le département de mathématiques de l’université du Québec à Montréal, juillet 2007, <www.Lacim.Uqam.Ca/bedard/notes/Cours MAT4112/MAT4112 notes v2007.Pdf>, (Consulté le 19/11/2018).

9. « Polynômes de Legendre » :                                      <https://www.wvt.rnu.tn/ressources_uvt/cours/analyse_hilbertienne/bases_hilbertienne/chap2/sec4/node1.html>, (Consulté le 19/11/2018).

TABLE DES MATIERES

EPIGRAPHE. I

DEDICACE. II

REMERCIEMENTS. III

INTRODUTION. 1

CHAPITRE PREMIER: EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE. 4

1.1. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. 4

1.1.1. Définition.. 4

1.1.2. Equation homogène. 4

Quelques exemples. 4

1.2. Equations aux dérivées partielles du second ordre. 5

1.2.1. Définitions. 5

Exemple. 6

1.2.2 Classification aux conditions aux limites. 6

1.3 Séries de Fourier. 7

1.3.1 Définition des séries de Fourier. 7

1. Définition.. 7

2. Théorème de Dirichlet. 7

3. Définition.. 8

Calcul de . 8

Calcul de . 9

Calcul de . 10

Remarque.. 10

1.3.2 CORROLAIRE (séries de Fourier de cosinus). 11

1.3.2 CORROLAIRE (séries de Fourier de sinus). 11

1.4 Méthode de Fourier (séparation des variables) [1]. 11

Exemple. 12

CHAPITRE DEUXIEME: APPLICATION DES POLYNOMES DE LEGENDRE A LA RESOLUTION D’UNE EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES  15

2.1 Polynômes de Legendre [3]. 15

2.2 Propriétés des polynômes de Legendre [9,2]. 15

Preuve. 16

2.3 Expression de l’équation de Laplace en coordonnées polaires et sphériques [1,8]  19

2.4 Intégration de l’équation de Laplace [8]. 22

APPROCHE PEDAGOGIQUE. 24

FICHE DE PREPARATION N°1.. 24

FICHE DE PREPARATION N°2.. 27

BIBLIOGRAPHIE. 30

             

 

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