Conception et simulation d’un estimateur de vitesse et de la position d’un MSAP

CONCEPTION ET SIMULATION D’UN ESTIMATEUR DE VITESSE ET DE LA POSITION D’UN

MOTEUR SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS

Travail de fin d’études présenté et défendu en vue de l’obtention du grade de bachelier en sciences

de l’ingénieur civil

Par : MBWEBWE KABONGO Ruben

Septembre 2020

Université de Lubumbashi

Faculté polytechnique

Département d’électromécanique

Conception et simulation d’un estimateur de

vitesse et de la position d’un MSAP

Par

Mbwebwe kabongo ruben

Directeur ; Pr Dr Ir KATOND BAY Jean-Paul

Co-directeur ; Ass. Ir Trésor KANIKI

Années académique 2018-2019

Dédicace

A mes parents, KABONGO DILENGE Alexis et KAMWANYA MISENGAMBU Rosaly, pour leurs sacrifices, leur tendresse, leur soutien et leurs prières tout au long de mes études.

A vous mes frères et sœurs, KONGOLO MWAMBA Eldjo ; BASAKULA KATANGALA Joseph ; NGALULA KABONGO Plamedi ; BONGA KABONGO Tegra ; NAZAULA WA NAZAULA Egrabene et BAMPA Dallicia.

A toute la famille MBWEBWE et KABONGO.

Remerciement

Ce travail de fin d’étude a été réalisé à l’Université de Lubumbashi (UNILU) ; au département d’électromécanique de la faculté polytechnique avec l’aide et le soutien de nombreux intervenants clés qui ont grandement contribué à sa réalisation. Aussi, je tiens à les remercier et à leur exprimer toute ma reconnaissance, notamment :

En premier lieu, mon directeur de recherche, le Professeur JeanPaul KATOND BAY, professeur associé à 1 ’UNILU, pour son soutien permanant et les nombreux conseils et informations appor tés. Ces derniers ont grandement contribué à rehausser la qualité de ce travail.

Mon codirecteur, l’Ingénieur Trésor KANIKI (assistant et chercheur à l’UNILU), pour sa disponi bilité et la riche documentation qui m’a permis de mieux cerner de nombreux concepts exposés dans le présent projet. Je tiens enfin à exprimer ma reconnaissance à tous ceux ou celles qui ont de près ou de loin contribué à la réalisation de ce travail et qui ne sont pas nommément cités ici.

Abréviations

Ia , Ib et Ic Courants dans les phases a, b et c

Iα , Iβ Courants équivalents dans le repère α − β

Va , Vb et Vc Tensions appliquées aux phases a, b et c

Vα , Vβ Tensions équivalentes dans le repère α − β Φa , Φb et Φc Flux dans les enroulements a, b et c Φα , Φβ Flux équivalents dans le repère α − β

Φ f α , Φ f β Composantes du flux de l’aimant permanent dans le repère α − β

Φd , Φq Flux équivalents dans le repère dq

eα , eβ FEM dans le repère α − β

ed , eq FEM dans le repère dq

MSAP Machine Synchrone à Aimants Permanents

FEM Force ElectroMotrice

PLL PhaseLocked Loop (Boucle à Verouillage de Phase)

EKO Extended Kalman Obsever (Observateur de Kalman étendu)

∆L Fluctuation d’inductance

Ld Inductance équivalente sur l’axe d

Lq Lq Inductance équivalente sur l’axe q

Ls Inductance des machines à pôles lisses

Φ f Valeur nominale du flux de l’aimant permanent

θ Position électrique du rotor

ω Vitesse de rotation angulaire mécanique du rotor ωe Vitesse de rotation angulaire électrique du rotor Cm Couple électromagnétique sur l’arbre moteur

Cch Couple des charges internes et externes sur l’arbre moteur

p Nombre de paires de pôles du moteur (il y a 4p pôles)

J Inertie de l’arbre moteur

fv Coefficient de frottements visqueux sur l’arbre moteur

dθ Erreur d’estimation de position

VSI Voltage source Inverter

Résumé

Le problème de la commande sans capteur mécanique de la machine synchrone à aimants per manents (MSAP) est un problème très étudié dans le domaine de l’automatique et de l’électro technique. Le travail présenté s’intéresse au problème particulier d’estimation sur toute la plage de vitesses. L’objectif est de proposer un estimateur simple et performant capable de fonctionné à basse et à haute vitesse sans entrainer une erreur de la vitesse et de la position en régime permanent.

La position du rotor et la vitesse angulaire du MSAP peuvent être estimées par diverses méthodes. Les estimateurs peuvent être divisés en estimateurs basés sur un modèle et en estimateurs par injection du signale. Les méthodes fondées sur le modèle calculent des grandeurs mécaniques à l’aide de la représentation mathématique du moteur et les méthodes d’injection exploitent gé néralement la saillance du MSAP. La tension injectée crée de courants modulés par la position du rotor. Les informations de position peuvent être extraites à partir de ces courants mesurés. Dans ce travail de fin d’études un estimateur est développé à partir des deux approches, en pre mier lieu la conception de l’estimateur à partir du modèle de la machine en utilisant une boucle à verrouillage de phase pour forcer l’erreur inhérente au procéder à la valeur nulle. Ensuite une injection du signale haute fréquence basé sur la saillance de la machine est effectuée dans la direction de l’axe d.

Les résultats obtenus par simulation montrent que l’estimateur proposé est stable sur la plage de vitesse nominale, y compris la zone de vitesse nulle.

Table des matières

Dédicace

Remerciement

Résumé

Introduction générale

1 Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents

1.1 Propriétés des machines synchrones à aimants permanents

. . . . . . . . . . . .

1.2 Hypothèses de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Équations de la machine synchrone à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Comportement électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Comportement mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Modèle du MSAP avec des harmoniques de la distribution du flux d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Modèle dans le nouveau repère γ − δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Modèle d’état du MSAP dans le repère dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Modèle d’état dans le repère fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Modélisation de l’onduleur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Commandabilité du MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.1 Accessibilité forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.2 Application au MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 Synoptique de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8.1 Importance du capteur de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2	Commande sans capteur mécanique du moteur synchrone à aimants permanents	14
	2.1 Observabilité du MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
	2.1.1 Observabilité avec mesure de la vitesse et de la position . . . . . . . . . .	15
	2.1.2 Observabilité sans mesure de la vitesse et de la position . . . . . . . . . .	15
	2.2 Observateur de Luenberger étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
	2.2.1 Application à l’estimation de la vitesse et de la position du MSAP . . . . . .	19

3 Développement de l’estimateur de vitesse et de la position 22

3.1 Boucle à verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Dynamique de la PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Utilisation des équations de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 Estimation par l’équation de l’axe δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 Utilisation de l’équation de l’axe γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.3 Effet des erreurs des paramètres sur la position estimé . . . . . . . . . . . 24

3.3.4 Implémentation à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Utilisation des équations du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Effet des erreurs des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7 Estimation de la basse vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.8 Structure de l’estimateur mis au point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Résultats des simulations 32

4.1 Observateurs d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Observateur de Luenberger étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.2 Observateur de Kalman étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.3 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Estimation par les équations de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.4 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Estimation par les équations du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.4 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Estimation par les équations de tension et du courant . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.4 Marche idéale, avec l’erreur du flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.8 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Estimateur globale avec injection du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5.1 Marche idéale, sans erreur de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5.2 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance et de l’inductance . . . . . . . 46

4.5.3 Marche non idéale, avec les harmoniques d’ordre supérieur . . . . . . . . . 47

4.5.4 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Conclusion génerale 49

Bibliographie 50

Annexe A 52

Annexe B 53

Table des figures

1.1 Représentation de la MSAP dans le repère triphasé (a, b, c).[20] . . . . . . . . . . 3

1.2 Deux types de structures du MSAP.[20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Repères triphasé (a,b,c), diphasé (α , β ) et diphasé (dq).[20] . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Repères diphasé (α , β ), diphasé (dq) et diphasé (γ − δ ) . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Représentation simplifiée de l’onduleur.[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Structure de la commande vectoriel.[19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Structure de l’estimateur de vitesse et de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Structure de l’estimateur de vitesse et de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 Vitesse sans erreurs des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Vitesse sans erreurs des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.8 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.9 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.10 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.11 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.12 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.13 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.14 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.15 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.16 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.17 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.18 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.19 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.20 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.21 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

TABLE DES FIGURES

PWO

4.22 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.23 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.24 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.25 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.26 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.27 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.28 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.29 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.30 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.31 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.32 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.33 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.34 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.35 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.36 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.37 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.38 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.39 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.40 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.41 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.42 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.43 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.44 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.45 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.46 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.47 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Liste des tableaux

4.1 paramètres du MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Introduction générale

Que ce soit pour accroître l’efficacité énergétique ou pour optimiser et améliorer les contrôles des procédés, les industriels s’équipent de plus en plus d’entraînements à vitesse variable par les moteurs électriques. Et pour répondre aux contraintes économiques et environnementales de plus en plus importantes les grands avionneurs et automobilistes comme Airbus, Boeing et Toyota ont des objectifs de réduction drastique des émissions de CO2 . Cette diminution est rendue possible par la réduction du poids des avions, via l’utilisation de matériaux composites sur les modèles récents, mais aussi par le remplacement de circuits pneumatiques et hydrauliques par des circuits électriques, globalement plus légers et consommant au final moins de carburants [5]. Cet objectif de réduction est notamment permis par le développement de la machine synchrone à aimants permanents (MSAP).

Le principal avantage de la machine synchrone à aimants permanents est en effet d’avoir une puissance massique élevée, visàvis des autres machines électriques telles les machines asyn chrones [7].Par contre, la commande performante de cette machine sans balais nécessite une bonne connaissance de la position relative de son rotor. Or les capteurs utilisés pour la mesure de cette position (résolveurs, codeurs incrémentaux, sondes à effet Hall...) sont coûteux (achat, installation, maintenance) et augmentent le volume de l’actionneur complet (notamment le nombre de câbles), ce qui réduit la fiabilité de l’ensemble. Pour contourner ces problèmes, de nombreuses méthodes ont été développés depuis les années 1990 pour l’estimation de la position. Ces mé thodes, que l’on peut regrouper sous l’appellation de capteurs logiciels ont pour avantage de ne pas nécessiter d’électronique supplémentaire. Elles peuvent être divisées en deux catégories : d’une part, les méthodes basées sur des modèles de la machine, et les observateurs associés, et d’autre part, les méthodes basées sur la saillance de la machine. Les méthodes basées sur un modèle présentent de faibles performances lorsque la machine tourne à une vitesse faible ou lorsqu’elle est à l’arrêt. Les méthodes reposant sur la saillance montrent leurs limitent pour les machines non saillantes et lorsque la vitesse est proche de la vitesse nominale.

L’objectif de ce travail de fin d’études est de concevoir un estimateur de vitesse et de la position simple et efficace sur toute la plage de la vitesse. Une stratégie simple est développée pour l’es timation de la vitesse sans erreur en régime permanent en utilisant une boucle à verrouillage de phase. Cependant la méthode que nous avons développée souffre de même faiblesses que les observateurs d’état dans la région de faibles vitesses. Pour résoudre ce problème nous avons amélioré l’estimateur par une injection du signale haute fréquence dans l’axe d. Ainsi l’estimateur conçu est basé sur les modèles mathématiques du MSAP et sur l’injection du signale et se révèle stable sur toute la plage de la vitesse de zéro à la vitesse nominale en régime permanent.

Outre, l’introduction et la conclusion,

Au chapitre 1, les propriétés du MSAP sont brièvement discutées. La modélisation du moteur dans les divers repères en tenant compte des harmoniques d’ordres supérieur est présentée. Ainsi que le modèle de commande classique. Le chapitre 2 met en évidence les outils et les méthodes de commandes sans capteurs. Au chapitre 3 l’objectif poursuivis par la présente étude est répondu par le développement de l’estimateur. Enfin, le chapitre 4 est basé sur les simulations des differants modèles et approches et la justification de la validité de ces approches.

Chapitre 1

Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents

Ce chapitre présente la modelisation du MSAP en vue de la commande sans capteur mécanique. Dans un premier temps, le fonctionnement de la machine synchrone est présenté, et en parti culier une propriété particulière qui est la variation de l’inductance avec la position des aimants (saillance). Cette description permettra la mise en équation de la machine, qui peut être exprimée dans différents repères correspondant à la réalité physique (repère triphasé a,b,c), à un repère équivalent lié au stator de la machine (repère diphasé α , β ) ou à un repère tournant avec le rotor (repère diphasé dq). La description d’une commande classique du MSAP mettra en avant l’im portance du capteur de position, que l’on cherche à remplacer dans le cadre de la commande sans capteur.

1.1 Propriétés des machines synchrones à aimants perma

nents

La machine étudiée est de type synchrone à aimants permanents, utilisée en raison de sa grande puissance massique qui en fait un atout dans les applications embarquées comme l’automobile et l’aéronautique. Elle est également de type ≪ brushless ≫(sans balais collecteurs), pour des raisons de maintenance et pour éviter les arcs électriques. Son principe de fonctionnement repose sur la synchronicité entre les champs magnétiques produits par :

— un stator constitué d’enroulements triphasés (a,b,c), alimenté par des courants périodiques

Ia, Ib et Ic dont les fondamentaux sont déphasés deux à deux de 120 degrés ;

— un rotor constitué d’aimants créant un flux magnétique permanent(Φ f )à travers les spires des enroulements du stator.

Ce fonctionnement peut être résumé par la figure( 1.1).

Pour assurer cette synchronicité, la connaissance de la position θ du rotor de la machine est nécessaire. Elle définit en effet la position de la direction d des aimants permanents, ainsi que la direction q en quadrature avec la direction d. On distingue en outre deux types de structures d’aimants pour les moteurs synchrones à aimants permanents : d’une part les structures à aimants surfaciques ou superficiels, et d’autre part les structures à aimants enterrés (Fig. 1.2).

La structure de la machine a un effet sur l’inductance de la machine :

— dans le cas des machines à aimants en surface, l’inductance peut être considérée comme

constante pour toutes les positions du rotor par rapport au stator. En effet les aimants per manents ont ici une très faible perméabilité, et peuvent donc être considérés comme de l’air pour le calcul de l’inductance. La machine est alors dite à pôles lisses, et de manière gé nérale, toutes les machines dont la variation d’inductance est trop faible pour être mesurée ou exploitée sont appelées machines à pôles lisses.

FIGURE 1.1 – Représentation de la MSAP dans le repère triphasé (a, b, c).[20]

FIGURE 1.2 – Deux types de structures du MSAP.[20]

— dans le cas des machines à aimants enterrés, on aura, par contre, une différence de per méabilité entre le fer et l’aimant, ce qui provoque une variation de l’inductance avec la position. Ce phénomène est appelé saillance magnétique, et de manière générale, on ap pellera machines saillantes ou (pôles saillants) les machines dont l’inductance varie avec la position.

Cette saillance a notamment une influence sur le couple électromagnétique généré, qui dépendra fortement de l’inductance [19]. On notera L¯ la moyenne et ∆L l’amplitude de variation de l’induc tance sur un tour électrique.

1.2 Hypothèses de modélisation

Certaines hypothèses classiques sont admises pour la modélisation des machines électriques. Elles permettent d’avoir un modèle simplifié pour la commande et également pour la synthèse de l’estimateur :

— Hypothèse 1 : les pertes par hystérésis et par courant de Foucault sont négligées ;

— Hypothèse 2 : Les effets de la saturation magnétique et de la température du moteur sont ignorés ;

— Hypothèse 3 : la composante homopolaire est supposée nulle pour les grandeurs stato

riques, le système polyphasé est équilibré.

— Hypothèse 4 : Les harmoniques de fente (couple de denture) ne sont pas modélisées.

— Hypothèse 5 : La symétrie géométrique des pôles du stator et du rotor est supposée.

1.3 Équations de la machine synchrone à aimants permanents

Le courant à appliquer dans les bobines dépend, selon la partie précédente, de la position des aimants, qui est aussi celle du rotor de la machine. Pour simplifier la commande, deux repères équivalents au repère (a,b,c) sont introduits :

— un repère diphasé fixe α , β , lié au stator ;

— un repère diphasé tournant dq, lié au rotor (avec d la direction de l’aimant).

Le passage des variables électriques d’un repère à un autre est réalisé par l’intermédiaire de transformations : les transformations de Park et de Clarkes/Concordia. La transformation de Park et sa réciproque dépendent notamment de la position θ de la machine dans le cas du passage au repère dq (Fig. 1.3). Dans cette section, les équations de la machine sont présentées, d’abord dans le repère triphasé (a,b,c), qui correspond à la réalité physique, puis dans les repères diphasés équivalents. Elles mettent en évidence un double comportement : un comportement électrique et un comportement mécanique.

FIGURE 1.3 – Repères triphasé (a,b,c), diphasé (α , β ) et diphasé (dq).[20]

1.3.1 Comportement électrique

Les équations suivantes extraites de [19] sont celles qui seront utilisées dans la suite du présent travail de fin d’étude.

Équations dans le repère triphasé

Les relations entre tensions, courants et flux dans les enroulements a, b et c sont données par les équations suivantes :

Va

Ia

Φa

V b = R3 Ib + d t Φb (1.1)

V c Ic Φc

En particulier, le flux est donné par :

Φa

Ia

 cos(2θ ) 

2π

Φb = L3 Ib + Φ f cos(2θ − 3 )

(1.2)

Φc Ic



cos(2θ +

2π 

)

Où θ est la position électrique de la machine.

Les matrices de résistance et d’inductance étant égales à



L(2θ ) M(2θ −

2π

) M(2θ +

2π 

)

Rs 0 0   π 3 3 

R3 =  0 Rs 0  ; L3 = M(2θ − 2

) L(2θ +

) M(2θ ) 

0 0 Rs  3 3

2π 

Avec :

M(2θ 2

) M(2θ ) L(2θ ) 

L(θ ) = L¯ + ∆L cos(θ )

M(θ ) = − 2 L¯ + ∆L cos(θ )

Équations dans le repère lié au stator

Ces équations sont calculées par le passage du repère triphasé au repère diphasé fixe lié au stator (transformation de Concordia). Dans ce repère, les variables électriques(tensions, courants et flux permanents) varient toujours de façon sinusoïdales avec la position, mais sont déphasées de 90. Ainsi, les équations générales sont données par :

[V α ]

V β

= R2

[Iα ]

Iβ

+ L2

[α ]

− ωe Φ f

[ sin(θ )]

(1.3)

cos(θ )

R2 et L2 sont les matrices de résistance et d’inductance équivalentes. Dans le cas général des ma chines saillantes, ces matrices dépendent non seulement de la position, mais aussi de la vitesse électrique du rotor ωe [16] et sont données par :

2 [L¯ + ∆L cos(2θ ) ∆L sin(2θ )

]

(1.4)

L2 = 3

∆L sin(2θ )

L¯ − ∆L cos(2θ )

[Rs − 3ωe ∆L sin(2θ ) 3ωe ∆L cos(2θ )

]

(1.5)

R2 =

3ωe ∆L cos(2θ ) Rs + 3ωe ∆L sin(2θ )

Équations dans le repère lié au rotor

Dans ce repère, les variables électriques ne dépendent plus de la position et sont par conséquent plus simples à commander. En particulier les inductances Ld et Lq sur les axes respectifs d et q correspondent aux minimum et maximum de la variation d’inductance dans le repère α − β et sont alors donnés par résolution de :

L¯ = Ld + Lq

∆L = Ld − Lq

(1.6)

(1.7)

Les équations mettent en avant le couplage entre les axes d et q par les inductances Ld et Lq :

{ V d = Rs Id + Φ˙ d − ωe Φq

V q = Rs Iq + Φ˙ q + ωe Φd (1.8)

Les flux dans le repère dq étant donnés par :

{ Φq = LdId + Φ f

Φd = LqIq (1.9)

En combinant les équations (1.8) et (1.9), les équations en courant sont obtenues :

{ V d = Rs Id + LdI˙d − ωe LqIq

V q = Rs Iq + LqI˙q + ωe LdId + ωe Φ f (1.10)

on peut identifier des FEM dans le repère dq. Elles n’ont plus seulement pour origine le flux permanent, mais également le couplage par les inductances :

{ ed = −ωe LqIq

eq = LdId + ωe Φ f (1.11)

Ces FEM sont en particulier utilisées pour le découplage des axes d et q dans la commande. En compensant les FEM, on obtient un système de deux équations du première ordre noncouplées, dont les variables ne dépendent plus de la vitesse, ce qui est plus simple à commander.

1.3.2 Comportement mécanique

Au comportement électrique de la machine décrit dans la section précédente peut être ajouté le comportement mécanique associé au mouvement du rotor. Ce dernier est soumis au couple électromagnétique crée par le synchronisme entre les champs magnétiques au stator et au rotor d’une part, et à un ensemble de couple résistants d’autre part. En particulier on peut citer comme couples résistants [8] :

— le couple de détente, résultant de l’interaction entre les aimants et la structure du stator, et dépendant de la position ;

— le couple de frottements visqueux, avec fv le coefficient de frottements visqueux ;

— le couple de frottements secs ;

— le couple des charges appliquées par l’extérieur, inconnu et variable.

Équation mécanique

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au rotor, on obtient l’équation suivante :

dω

J dt = Cem − fv − Cch (1.12)

Avec Cch l’ensemble des charges internes et externes. Le couple électromagnétique est donné par les formules :

Cem = 2 p(Φβ Iα + ΦIβ ) (1.13)

Cem = 2 p(Φ f Iq + (Ld − Lq)IdIq) (1.14)

Avec p le nombre de paire de pôles du moteur.

Généralement, on cherche à commander le courant Iq pour commander le couple, et à commander le courant Id à zéro pour minimiser les pertes par effet Joule et éliminer le couple dû à la saillance.

1.3.3 Modèle du MSAP avec des harmoniques de la distribution du flux d’ordre supérieur

Dans cet travail de fin d’étude, la commande sans capteur est appliqué. Cela signifie que la vitesse et la position sont déterminé à l’aide des informations de courant et de tension. Ces grandeurs électriques contiennent les harmoniques causées par des propriétés non idéales de la machine et du convertisseur de fréquence. Pour avoir un estimateur performant, un modèle plus précis du moteur synchrone à aimants permanents doit être utilisé.

Inductances de phases

Dans un cas général, les self inductances des phases sont [17] :

∞

Lsa (θ ) = L¯ + ∑ Ls,2n cos(2nθ )

n=1

Lsb (θ ) = Lsa cos(θ −

Lsc (θ ) = Lsa cos(θ +

2π

) (1.15)

2π

)

De même, les inductances mutuelles entre les phases peut être écrit :

∞

L f ,ab (θ ) = L f ,o + ∑ L f ,2n cos(2nθ −

n=1

∞

L f ,ca (θ ) = L f ,o + ∑ L f ,2n cos(2nθ +

n=1

n2π

)

n2π

) (1.16)

∞

L f ,bc (θ ) = L f ,o + ∑ L f ,2n cos(2nθ )

n=1

Distribution du flux et équations de tension

La distribution du flux dans l’enroulement du stator peut être exprimée comme une somme de cosinus impairs [10].

 cos((2n − 1)θ ) 

∞ 2π

n − 1)(θ − ))

Φ f ,abc = ∑ Φ f ,(2n−1) cos((2 3 



(1.17)

n=1

 2π

cos((2n − 1)(θ + 3 ))

L’amplitude de la (2 n 1) ème composante harmonique diminue rapidement lorsque n augmente. Les amplitudes des harmoniques de flux Φ f (2n−1) dépendent de la forme spécifique des aimants permanents et la structure d’enroulement du stator. Habituellement, dans la littérature, seule la première composante Φm,1 est incluse. En utilisant (1–15) (1–17) les flux du MSAP peuvent être écrits

Φ⃗abc = Labc I⃗abc + Φ⃗f ,abc (1.18)

 Lsa (θ ) L f ,ab (θ ) L f ,ac (θ )

Ia

Labc = L f ,ba (θ ) Lsb (θ ) L f ,bc (θ ) ; I⃗abc = Ib

L f ,ca (θ ) L f ,cb (θ ) Lsc (θ ) Ic

Dans le repère du rotor les flux des axes d et q sont donnés par l’expression ciaprès.

Φd = Φ f d + LddId + LdqIq (1.19)

Où [14]

Φd = Φ f q + LqqIq + LdqId

∞

Ldd = Ld + ∑ Ldd,6n cos(6nθ )

n=1

∞

Lqq = Lq + ∑ Lqq,6n cos(6nθ )

n=1

∞

Ldq = ∑ Ldq,6n sin(6nθ ) (1.20)

n=1

∞

Φ f d = Φ f + ∑ Φ f d,6n cos(6nθ )

n=1

∞

Φ f q = ∑ Φ f q,6n sin(6nθ )

n=1

Une description plus détaillée de la formation des harmoniques d’inductance peut être trouvée dans [17]. On peut voir dans (1–20) que la distribution du flux statoriques dans le repère d, q contiennent la composante moyenne et multiples des sixièmes harmoniques. Dans le référentiel stationnaire, la distribution du flux contiennent des harmoniques d’ordre 5,7,11,13,17,19…

Ici (1–20) est tronqué pour ne contenir que la 6e harmonique ( n = 1) à la fin de la modélisation cela peut être fait parce que les amplitudes des 6n èmes harmoniques diminuent rapidement lorsque n augmente. L’équation (2–20) est le cas général où Ldd,6 , Lqq,6 et Ldq,6 ont des valeurs différentes. En utilisant la limite susmentionné on peut écrire :

Ldd = Ld + L6 cos(6θ )

Lqq = Lq − L6 cos(6θ )

Ldq = −L6 sin(6θ ) (1.21)

Φ f d = Φ f + (Φ f ,5 + Φ f ,7 ) cos(6θ ) = Φ f + Φ f d,6 cos(6nθ )

Φ f q = (−Φ f ,5 + Φ f ,7 ) sin(6θ ) = Φ f q,6 sin(6nθ )

En utilisant (1–19) et (1–21), nous pouvons écrire le modèle de tension (1–10) du MSAP dans le référentiel du rotor où les harmoniques de 6ème ordre sont incluses.

Vd = RId + Ld I˙d − ωe Lq Iq + L6 cos(6θ )I˙d − L6 sin(6θ )I˙q

−5ωe L6 sin(6θ )Id − 5ωe L6 cos(6θ )Iq − 6ωe Φ f d6 sin(6θ ) − ωe Φ f q6 sin(6θ ) (1.22)

Vq = RIq + Lq I˙q + ωe Ld Id − L6 cos(6θ )I˙q − L6 sin(6θ )I˙d

+5ωe L6 sin(6θ )Iq − 5ωe L6 cos(6θ )Id + 6ωe Φ f q6 cos(6θ ) + ωe Φ f d6 cos(6θ )

Dans cet travail de fin d’étude , la modélisation du MSAP est basé sur (1–22) lorsque les propriétés non idéales sont étudiées.

Équation mécanique

L’équation du couple électromagnétique peut être dérivée de l’expression de l’énergie stockée dans le champ couplant les systèmes électriques et mécaniques, stator et rotor. Si des conditions magnétiques linéaires sont supposées l’expression de trois phases peut être écrite pour l’énergie stockée dans le champ de couplage du MSAP [12].

1 T T

Wcham ps (I, θ ) = 2 Iabc Labc (θ )Iabc + Iabc Φ f ,abc (θ ) (1.23)

dans l’entrefer du MSAP. Il est montré dans [12] que sous ces hypothèses, le taux de changement

de l’énergie mécanique du MSAP est le même que le changement de l’énergie stockée dans le champ de couplage dans l’entrefer. Le taux de variation de l’énergie mécanique est du couple produit est :

∂ W (Iabc , θ )

1 T

∂ Labc (θ )

T ∂ Φ f ,abc (θ )

Ce (Iabc , θ ) = p

∂ θ = p( 2 Iabc

Iabc + Iabc

∂ θ ) (1.24)

p est le nombre de paires de pôles. (1–24) donne dans le repère de park l’expression suivante :

1 r T ∂ Labc r

r T ∂ Φ f ,abc (θ )

Ce (θ ) = p( 2 (Kinv I )

Kinv I

∂ θ

+ (Kinv I )

∂ θ ) (1.25)

où Ir = [Id Iq ]T et Kinv la matrice de transformation inverse de park. Le couple de denture n’est pas inclus. Si l’expression du couple électromagnétique est tronqué pour contenir des harmoniques jusqu’au 6ème ordre (1–25) peut être écrit :

3 2 2

Ce (θ ) = 2 p{Φ f Iq + (Ld − Lq )Id Iq − 2L6 ((Id − Iq ) sin(6θ ) + 2Id Iq cos(6θ )) (1.26)

+Iq cos(6θ )(Φ f d,6 + 6Φ f q,6 ) − Id sin(6θ )(Φ f q,6 + 6Φ f d,6 )}

Le premier composant 3 pΦ I

est le principal composant producteur du couple, le second est le

2 f q

couple de réticence causé par la saillance principale. Les autres termes sont dus aux harmoniques

dans les inductances et la distribution du flux du rotor, Ils dépendent de la position du rotor.

1.3.4 Modèle dans le nouveau repère γ − δ

Le modèle dans le repère dq présenté précédemment est basé sur la position θ mesurée. Dans certaines applications, la position mesurée peut être biaisée en raison d’un offset sur le capteur, ou indisponible dans le cas de notre étude. Pour cela, on introduit ici un nouveau repère, nommé repère γ − δ . Ce repère se rapproche du repère présenté dans [12]. Ici, on applique la transformée de Park , mais on ajoute un terme dθ . Nous sommes ravie d’utilisé ici l’équation(110) car le modèle non idéal (122) est mise en évidence dans le chapitre3. Le passage du repère de park au nouveau repère est donné par (figure 1.4) : V re = V r eJdθ .

FIGURE 1.4 – Repères diphasé (α , β ), diphasé (dq) et diphasé (γ − δ )

En fin nous avons les expressions suivante après projection.

Vγ = RIγ − ωˆ e (Iγ cos(dθ ) sin(dθ )(Ld − Lq ) + Iδ (Lq cos2 (dθ ) + Ld sin2 (dθ )))

−ωe Φ f sin(dθ ) (1.27)

Vδ = RIδ − ωˆ e (−Iγ (Lq sin2 (dθ ) + Ld cos2 (dθ )) − Iδ cos(dθ ) sin(dθ )(Ld − Lq ))

+ωe Φ f cos(dθ )

Ou dθ = θ − θˆ

1.4 Modèle d’état du MSAP dans le repère dq

La représentation du modèle d’état demande, dans un premier temps, la définition du vecteur d’état X, du vecteur d’entrée u et du vecteur de sortie y. Dans le cas fréquent de la représentation d’une machine électrique dans le plan dq, les entrées de la machine sont les tensions statoriques Vd et Vq lorsqu’elles est alimentées en tension et les courants statoriques Id et Iq représentent le vecteur de sortie. Le couple de charge Cr est considéré généralement comme une perturbation à compenser par le régulateur de vitesse ou de position du rotor. Le modèle d’état s’écrit :

 Rs

−

Id +

Iq ω

  1 

Id  

d Iq  

Rs Ld

− −

Φ f

Id ω − ω

 Ld



1  [Vd ]

dt ω  = 

  0

L  V

 Lq Lq Lq

 +  

(1.28)

  

θ 

pΦ f

P(Lq

− Ld )

1  

 

d  q

0 

− Iq −

Id Iq − Cr 

pω 0 0

1.5 Modèle d’état dans le repère fixe

Le modèle d’état de la machine dans le repère fixe est :

[Vα ] = [Rs + PLα PLα β

] [Iα ]

+ ω Φ f

] (1.29)

Vβ PLα β Rs + PLβ Iβ

e − sin θ cos θ

1.6 Modélisation de l’onduleur de tension

Dans notre travail nous avons choisi l’onduleur de tension commandé par la technique de Modu lation de Largeur d’Impulsions (MLI), la modulation sinustriangle a été choisie pour la génération des tensions d’alimentation du MSAP.

Du fait que les constantes de temps des machines et des régulateurs sont très grandes devant le temps de transition d’un état à l’autre des composants semiconducteurs, on peut faciliter la modé lisation et réduire le temps de simulation en modélisant l’onduleur par un ensemble d’interrupteurs idéaux. La figure I.5 représente le schéma de cet onduleur et son modèle. Les six interrupteurs de l’onduleur relient les deux bornes de la source continue de tension aux trois phases de la ma chine. Les tensions de sortie aux bornes de l’onduleur sont prises par rapport au point fictif ”o” de la source de l’onduleur. Une fonction logique décrit l’état de chaque interrupteur, sa valeur vaut un (1) si l’interrupteur est fermé et zéro (0) s’il est ouvert.Cette fonction est définie par :

{ 0

Fi =

1 (1.30)

FIGURE 1.5 – Représentation simplifiée de l’onduleur.[2]

Les tensions de sortie sont obtenues par la relation suivante :

Van 

 2 −1 −1 Vao 

Vbn  = 3 −1 2 −1 Vbo  (1.31)

Avec

Vcn

−1 −1 2

Vco

Van = − 3 (Vao + Vbo + Vco )

En utilisant les fonctions de connexion, les tensions composées de l’onduleur sont exprimées de la manière suivante :

Vab = Van − Vbn

Vbc = Vbn − Vcn (1.32)

Vca = Vcn − Van

Les tensions de branchesVao , Vbo , Vco peuvent être exprimées en fonction des fonctions logiques

Fi par :

Vao = 2 E F1

Vbo = 2 E F2 (1.33)

Vco = 2 E F3

En remplaçant Vao , Vbo , Vco dans la relation (1.31) on obtient

Van 

1  2 −1 −1 F1 

Vbn  = 6 E −1 2 −1 F2  (1.34)

Vcn

−1 −1 2 F3

1.7 Commandabilité du MSAP

Avant de développer des structures de commande du MSAP, il convient d’aborder la question de la commandabilité des modèles non linéaires. L’étude de la commandabilité d’un système non linéaire est, dans notre cas, effectuée localement. Elle est analysée autour d’un état xo . Ceci est le caractéristique d’un système non linéaire où le principe de superposition n’est plus applicable. Nous introduisons cidessous une notion d’accessibilité qui permet d’approcher la notion de com mandabilité classique pour un système non linéaire. [15].

1.7.1 Accessibilité forte

L’accessibilité forte d’un système non linéaire et affine en entrée

X˙ = f (x) + ∑ gi (x)ui ; x ∈ Rn ; u ∈ Rm

i=1

demande une distribution d’accessibilité D(x) de rang plein :

rangD(x) = n

où

Avec

:; D(x) = s pan{ad j gi (x); i = 1, ..., m; j = 0, 1, 2} (1.35)

ad j gi = [

j−1

gi , gi ] , j ≥ 2, ado = gi

où :

f ad f

∂ gi ∂ f

ad f gi = ( ∂ x ) f − ( ∂ x )gi (1.36)

Dénote le crochet de Lie de deux champs de vecteurs.

1.7.2 Application au MSAP

On calcule les distributions possibles d’accessibilité par :

pω

 1 0 

 Ld Ld 

D3 (x) = s pan{g1 , g2 , ad f , g2 } =  0 −

Rs 



 Ld 2

 

 0 0 − pΦ f + p(L

L )JL I 

JLq

D4 (x) = s pan{g1 , g2 , ad f g2 , ad2 g2 }

d − q q d

 1

 Ld

 1

 Ld



− pω



a1 (x)



a (x) 



 0 0 − pΦ f + p(Ld − Lq ) I

a (x) 

 JLq



JLq d 3 



 0 0 0 − pΦ f + p(Ld − Lq ) I 

JLq

Φ f

JLq d

Il s’ensuit : D3 (x) = 3 et D4 (x) = 4 si id ̸=

d −

. Cette condition est en pratique satisfaite car

Lq)

Id dans les MSAP est très inférieur à (L

Φ f . Les deux modèles d’état (I.28) et (I.29) sont donc

Lq)

d −

localement commandable.

1.8 Synoptique de commande

FIGURE 1.6 – Structure de la commande vectoriel.[19]

1.8.1 Importance du capteur de position

La structure de commande décrite précédemment dépend fortement de la bonne connaissance de la position du rotor. Tout d’abord, elle intervient dans la boucle de position. Dans ce cas, un biais de l’estimation de la position provoque une erreur statique de position, qu’il est impossible de corriger. Ensuite, le passage des grandeurs de la commande à la machine et le passage des mesures de la machine à l’algorithme de commande nécessitent un changement de repère (transformation de Park) dépendant de la position. Ainsi, une mauvaise connaissance de la position peut entraîner des inversions de sens de rotation (pour une erreur de 180 degrés ou une perte de la commande du couple (pour une erreur de 90 degrés sur la position). En outre, toute erreur sur la position implique des pertes énergétiques : pour un même courant Iq appliqué, un courant Id non nul existera qui aura pour conséquence une dissipation par effet Joule. La commande sans capteur mécanique, qui cherche à supprimer ce capteur de position par un capteur logiciel, a donc un impact non négligeable sur la précision et le rendement.

1.9 Conclusion

Dans ce chapitre, la modélisation du MSAP a été exposée. Où il est nécessaire de modéliser convenablement tout l’ensemble du système dont ici le moteur synchrone à aimants permanents (MSAP) est un élément majeur. La phase de modélisation a été destinée pour définir un modèle suffisamment fin moyennant des hypothèses simplificatrices pour décrire au mieux le comporte ment du procédé. Les différents modèles linéaires et non linéaires du MSAP en vue de sa com mande ont été donnés.

Chapitre 2

Commande sans capteur mécanique du moteur synchrone à aimants permanents

La commande des systèmes statiques ou dynamiques repose implicitement sur l’hypothèse que tout état est connu à chaque instant. Pour des raisons technologiques (de matériel, de réalisabi lité, etc), de fiabilité (panne des éléments de mesure) ou encore économiques (coût des capteurs), dans de nombreuses applications la mesure de tout l’état n’est pas possible. Il est nécessaire, à l’aide des mesures disponibles de reconstruire les variables d’état non mesurées. C’est le pro blème bien connu de l’observation. Nous retrouvons cette problématique dans un contexte plus général que celui de la commande, comme par exemple le diagnostic, la détection de panne, la sécurité où la connaissance de l’état du système peut être nécessaire.

Les observateurs sont des outils pour la reconstruction de l’état des systèmes à partir de l’ob servation de leur sorties, pour lesquels la pertinence de reconstruction de l’état dépend bien sûr de la pertinence du modèle. La possibilité de réaliser un observateur pour un système donné est étroitement liée à la possibilité d’identifier l’état à partir de l’observation des sorties du sys tème, ce qui se traduit par la propriété structurelle d’observabilité. En ce qui concerne la théorie des observateurs dans le cas non linéaire, la littérature est riche de travaux, mais peu de tech niques sont effectivement utilisables en l’état pour une large classe de systèmes. De nombreuses méthodes ont été présentées pour l’estimation de la vitesse et de la position de la MSAP. La litté rature se concentre principalement sur trois approches différentes : La première approche, basée sur la reconstruction de la position directement à l’aide d’un modèle de référence, prenant en compte ou pas les bruits des mesures et utilisant des mesures électriques. Cette voie peut aussi se décliner en beaucoup de solutions suivant le modèle de la machine utilisé(abc,dq,α β )αβ), les mesures accessibles (tensions simples, tensions composées, courants de ligne, tension continue de l’onduleur, etc.) ou encore suivant la nature de l’observateur (filtre de Kalman, observateur de Luenberger, observateur en régime glissant, observateur à redondance analytique, etc.[1][20].

La première partie du chapitre est une introduction au problème d’observabilité et de synthèse d’observateurs pour le moteur synchrone à aimants permanents sans capteur mécanique abordé par la suite. Les méthodes saillants sont brièvement discutés.

2.1 Observabilité du MSAP

L’observabilité du moteur synchrone à aimants permanents est traitée dans[7], Il est évident que l’analyse de l’observabilité des systèmes linéaires est relativement simple. Par contre, cette ana lyse dans les cas non linéaires est complexe car l’observabilité peut dépendre de l’entrée du

système et qu’il peut y avoir des singularités d’observation dans l’espace d’état. La machine syn

chrone à aimants permanents est fortement non linéaire.

Nous verrons que lorsque la mesure de vitesse est effectuée, le système est localement obser vable. Par contre, lorsque la mesure de vitesse n’est pas autorisée, l’observation de la vitesse mécanique se heurte à des problèmes d’observabilité à basse vitesse. Nous donnons ici quelques éléments sur ce sujet et nous montrons dans le cas où la vitesse est non mesurée, la possibilité ou pas de retrouver l’observabilité du système en utilisant les dérivées d’ordre supérieures des mesures.

2.1.1 Observabilité avec mesure de la vitesse et de la position

Lorsque la vitesse et/ou la position est mesurée, le modèle de la machine synchrone donné au chapitre I est réécrit comme suit :

x1 

 Id 

h1 

x1 

Vd 

(2.1)

x = x2  =  Iq  ; h(x) = h2  = x2  ; u = Vq

x3 

ωe 

h3 

x3   

   

x4 θ

    Cr

h4 x4

 Rx1 + PLd x2 x3

  1

0 0 

 Rx2

− Ld

PLd x1 x3

Lq 

pΦ f x3 

 Ld 1 

 − +

− x3   0 0 

f (x) =  L L

L  ; g(x) =  L 

 d q

q   d 

 pΦ f x3

P(Lq − Ld )x1 x2 f 

0 0 −1

 x2 +

 J

px3



J − J x3 

 

 J 

0 0 0

Soit l’ensemble de fonctions P1 (x) obtenue à partir des mesures de la manière suivante :

h1 

x1 

P1 (x) = h2  = x2 

(2.2)

h3 

x3 

   

h4 x4

A l’espace d’observabilité du système est associé le jacobien de P1 (x) par rapport à l’état x.

Le jacobien de P1 (x) par rapport à l’état x permet donc de caractériser l’observabilité du système

1 0 0 0

J1 (x) =

∂ (P1 (x))

∂ (x)

= 0 1 0 0

0 0 1 0

Le déterminant D1 de J1 (x) est :

 

0 0 0 1

D1 = 1

Le rang de la matrice est égal à l’ordre du système et ce qui est une condition suffisante d’ob servabilité. La machine synchrone avec mesures de vitesse et/ou de position et de courants est donc localement observable. Dans ce cas, il est donc inutile d’introduire des dérivées d’ordres supérieur des mesures.

2.1.2 Observabilité sans mesure de la vitesse et de la position

Considérons le modèle de la machine synchrone où la vitesse n’est pas mesurée et de plus le couple de charge est supposé constant alors :

{ x˙
=
f (x) + g(x)

x1  y
 Id  = h(x) x = x2  =  Iq  ; h(x) = [h1 ] = [x1 ] ; u =

Vd 

(2.3)

x3 

ωe 

h2 x2

 q 

    Cr

x4 θ

 Rx1 + PLd x2 x3

  1

0 0 

 Rx2

− Ld

PLd x1 x3

Lq 

pΦ f x3 

 Ld 1 

 − +

− x3   0 0 

f (x) =  L L

L  ; g(x) =  L 

 d q

q   d 

 pΦ f x3

P(Lq − Ld )x1 x2 f 

0 0 −1

 x2 +

 J

px3



− J x3 

 

 J 

0 0 0

Soit l’ensemble de fonctions P2 (x) obtenue à partir des mesures de la façon suivante :

h1 

x1 

P2 (x) = h2  = x2 

(2.4)

   

h˙1 

h˙2

x˙1 

x˙2

A l’espace d’observabilité du système est associé le jacobien de P2 (x) par rapport à l’état x.

Le jacobien J2 (x) de P2 (x) par rapport à l’état x permet donc de caractériser l’observabilité du système au sens du rang :

 1

 Ld





0 0 0



 0

∂ (P2 (x))  Ld

0 0



J2 (x) =

∂ (x) =  −R

 d

pLq ω

pLq Iq 

Ld 



 − pLd ω −R

− pLd Id 0

 Lq

Lq Lq − −

pΦ f 

Il est évident que le déterminant de cette matrice est nul. Par conséquent, le système est donc nonobservable. Quelque soit l’ordre des dérivées de h1 et h1 utilisé, il est constaté que le système est toujours nonobservable.

Donc, à partir du modèle dans le repère (d−q), la machine synchrone à aimants permanents n’est pas observable car aucun état ne dépend de la position du rotor θ . Donc, étudions l’analyse de l’observabilité dans le repère fixe (α ) et (β ) . Alors, à partir du modèle (1.12) donnée au chapitre

1 :

[Vα ] = [Rs + PLα PLα β

] [Iα ]

+ ω Φ f

Notons que :

Vβ PLα β Rs + PLβ Iβ

e − sin θ cos θ

L0 =

L1 =

Ld + Lq

Ld − Lq

Lα β = L1 sin 2θ

Lα = L0 + L1 cos 2θ

Lβ = L0 − L1 cos 2θ

On peut donner le modèle d’état dans le repère fixe (α − β ).

[Iα ]

A [V α ]

R 2L1 ω B

[Iα ]

ω Φ f (LO + L1 ) [− sin θ ]

Iβ = B V β

− ( D +

D ) Iβ − D

I cos θ

Où

= [ Lβ −Lα β ]

−Lα β Lα

[La −Lb]

B = Lb La

La = lo sin 2θ

Lb = L1 lo sin 2θ

D =| |= −Lα Lβ − (lα β )2

Soit l’ensemble de fonctions P3 (x) obtenue à partir des mesures de la façon suivante :

h1 

x1 

P3 (x) = h2  = x2 

(2.5)

   

h˙1 

h˙2

x˙1 

x˙2

A l’espace d’observabilité du système est associé le jacobien de P3 (x) par rapport à l’état x.

Le jacobien J3 (x) de P3 (x) par rapport à l’état x permet donc de caractériser l’observabilité du système au sens du rang :

∂ (P3 (x))

 1 0 0 0 

 0 1 0 0 

J3 (x) =

∂ (x) =  

a1 a2 a3 a4 

b1 b2 b3 b4

Avec :

a1 = −

Rs Lβ

+ 2L1 La ω

a2 = −

Rs Laβ

+ 2L1 Lb ω

a3 =

Φ(Lo + L1 ) sin θ

D +

2L1 La Iα

D −

2L1 Lb Iβ

a4 =

Φ(Lo + L1 )ω cos θ

D +

2L1Va − 2RL1 Iα + 4L1 Lo ω Iβ sin 2θ

2L1Vb − 2RL1 Iβ + 4L1 Lo ω Iα cos 2θ

b1 =

Rs Laβ

D −

Rs Lα

2L1 Lb ω

2L1 La ω

b2 = − −

b3 = −

Φ(Lo + L1 ) cos θ

2L1 Lb Iα

− D

2L1 La Iβ

− D

b4 =

Φ(Lo + L1 )ω sin θ

D −

2L1Va − 2RL1 Iα + 4L1 Lo ω Iβ cos 2θ

Le déterminant D3 de J3 (x)

2L1Vb − 2RL1 Iβ + 4L1 Lo ω Iα sin 2θ

D3 = a3 b4 − a4 b3

Dans le cas où la machine est à pôles lisses

(Ld = Lq = Lo ⇒ L1 = 0)

La valeur du déterminant sera :

D3 =

Φ2 ω

(2.6)

Sachant que le flux de l’aimant ainsi que l’inductance sont toujours différents de zéro, le système est localement observable si la vitesse diffère de zéro.

Dans le cas où la machine est à pôles saillants(Ld ̸= Lq ) La valeur du déterminant sera :

2L1 Φ f (Lo + L1 )

4L2

D3 =

D (Lq I˙q ) − D2 (IqVd − IdVq )

4L3 R sin 2θ 2 2 3

− D2 (Id + Iq ) + D2 (IqVd − IdVq )

Si une stratégie type commande vectorielle est utilisée, le courant Id est contraint à zéro (sauf pour les cas où la machine tourne à une vitesse très élevée. Alors, le déterminant peut être simplifié :

2L1 Φ f (Lo + L1 )

4L3 R sin 2θ 2

D3 =

D (Lq I˙q ) −

D2 (Iq )

4L2 Lo

+( D2

4L3

+ 1 )(IqVd )

f (Lo + L1 )(Lq I˙q ) ̸= −(2L1 Lo + 2L1 )(IqVd ) (2.7)

2.2 Observateur de Luenberger étendu

Dans le cas du système non linéaire donnée par :

{ x˙

= f (x(t ), u(t ))

y = h(x(t ))

L’observateur est spécifie de la même manière que dans le cas linéaire

{ x˙ˆ

yˆ

= f (x(ˆt ), u(t ) + k(x(ˆt ), u(t )))(y − yˆ)

= h(x(t ))

(2.8)

Le but d’un observateur est de faire converger l’état estimé vers la véritable valeur de l’état. Ceci peut s’écrire de la manière suivante :

εx = (xˆ − x) (2.9)

lim (xˆ x) 0

t →∞

ε˙x = f (x(t ), u(t )) − f (x(ˆt ), u(t )) − +k(x(ˆt ), u(t ))(h(x(t )) − h(x(ˆt ))) (2.10) On peut aussi décrire la dynamique de l’erreur par

ϕ (s) = det (sI − ( f − kh)) = 0 (2.11)

La dynamique (rapidité, stabilité) de l’observateur est donnée par l’équation caractéristique :

ϕ (s) = (s − s1 )(s − s2 )(s − s3 )....(s − sn ) (2.12) Ainsi, par un choix judicieux du gain (K), on peut modifier la dynamique de l’observateur et par

conséquent faire évoluer la vitesse de convergence de l’erreur vers zéro.

Pour obtenir les performances désirer de l’observateur on fixe l’équation caractéristique désirer par :

On choisi les K tel que :

ϕL (s) = ϕd (s)

x1 

 ω 

x = x2  =  θ  ; u = Iq

x3 Cr

La structure d’un observateur d’état est basée sur un modèle du système, appelé l’estimateur ou prédicteur, fonctionnant en boucle ouverte. La structure complète de l’observateur inclut une boucle de contreréaction permettant de corriger l’erreur entre la sortie du système et celle du modèle [15].

Le gain K de l’observateur est choisi par placement de pôles. La méthode traditionnelle est décrite en [6]. La règle générale est de choisir les pôles de l’observateur 5 à 6 fois plus rapides que les pôles du système (3.1). Ceci s’explique par le fonctionnement en boucle fermée où le gain de la boucle de retour est représenté par une matrice de gains, notée L et le dimensionnement de cette matrice est effectué de telle sorte à assurer la convergence le plus rapidement possible entre le modèle ou l’estimateur et le système réel. Le vecteur de sortie y est comparé au vecteur équivalent ŷ, donné par l’observateur, pour assurer le fonctionnement en boucle fermée. Ainsi on définit une nouvelle variable, l’erreur d’observation. Celleci est multipliée par la matrice de gains (K) et envoyée à l’entrée de l’observateur pour influencer les états estimés. Ainsi, par un choix judicieux de la matrice de gains (K), on peut modifier la dynamique de l’observateur et par conséquent faire évoluer la vitesse de convergence de l’erreur vers zéro, tout en conservant la condition sur la matrice (AKC) qui doit être une matrice Hurtwitz, c’estàdire que ses valeurs propres soient à parties réelles négatives dans le cas continu ou possèdent un module inférieur à

1 dans le cas discret [3].

2.2.1 Application à l’estimation de la vitesse et de la position du MSAP

Donc, dans cette étude nous choisirons le modèle non linéaire de l’observateur de Luenberger [4], et nous l’appliquerons sur le système (MSAP commande vectorielle). Le modèle d’équations d’états simplifie aux valeurs non mesurés de la MSAP s’écrit :

0 1 0 

 0 

f (x) = 0 fv

−1  ; g(x) =  pΦ f 

 J J 

 J 

0 0 0 0

L’observateur d’état peut être décrit par le système suivant :

 d ωˆ

 dt

 dθˆ

Cem

J −

J ωˆ + L1 (ω − ωˆ )

 dCˆr

= ωˆ

(2.13)

 dt = L3 (θ − θˆ )

On prend

 0	0	0
L = L1	L2	0
L3	0	0

Pour assurer la stabilité de l’observateur, il faut que l’erreur dynamique soit stable. Par conséquent, les valeurs propres de l’observateur doivent être placées dans le demiplan complexe gauche. D’où la détermination des pôles de systèmes par la résolution de l’équation

Det [SI( f (x) − L)] = 0

Par identification avec l’équation caractéristique désirée qui peut être écrite sous la forme sui

vante :

S3 + (L1 +

J )S + (L2 −

fv L3

J L3 )S − J

= 0 (2.14)

On détermine les coefficients de l’observateur :

S3 + 3ζ ωn S2 + ωn (1 + 2ζ 2 )S + ζ ω 2 = 0 (2.15)

On impose toujours deux pôles complexes conjugués

 fv

 L1 = −(−S1 + S2 + S3 − J )

L2 = S1 S2 + S1 S3 + S2 S3 + fv (S1 S2 S3 )

 L3 = J(S1 S2 S3 )

(2.16)

2.3 Filtre de Kalman étendu

L’application du filtre de Kalman au système discret du MSAP conduit aux expressions suivantes :

X [k + 1] = A(Θ)X [k] + Bu (Θ[k])(U [k]) + BΘ (Θ[k])Θ[k] + W x [k]

Θ[k + 1] = G(Θ[k])Θ[k] + W Θ [k] (2.17)

Y [k] = C(Θ)Θ[k] + D(Θ)Θ[k] + By (Θ[k])U [k] + n[k]

Où X[k] et Θ[k] sont considérés respectivement comme vecteur d’état principal et vecteur de pa ramètres (composé des paramètres et des entrées inconnues à estimer). L’équation d’état (pré cédente 217) discrète peut se réécrire de la manière suivante :

X a [k + 1] = Aˆ [k]X a [k]+ = Bˆ[k]U [k] + W [k]

Y [k] = Cˆ[k]X a [k] + By (Θ[k])U [k] + n[k]

Donc, nous avons pris l’équation d’état avec :

X a [k + 1] =

[X [k]]

Θ[k]

Aˆ [k] =

[A(Θ[k]) BΘ (Θ[k])]

0 G(Θ[k])

[Bu (Θ[k])]

Bˆ[k] = 0

Cˆ[k] = [C(Θ[k]) D(Θ[k])]

A(Θ[k]) BΘ (Θ[k])

G[k] =  1 1 

W [k] =

[W x [k] ]

W Θ [k]

D[k] = 0, By [k] = 0

En appliquant les équations d’état discrètes du modèle augmenté après calcul on trouve [1] :

 Isq T L s



Vsq T 

L s



 −Φ f T

Isd T

−Vsd T 

Lq s − Lq s

Lq s

H2 [K] =

[0 − sin(θ )Isd − cos(θ )Isq ]

0 − sin(θ )Isq + cos(θ )Isd

H1K = C[k], F [k] = A[k]

2.4 Méthodes saillantes

Toutes les méthodes précédentes présentent des problèmes d’estimation de la position Lorsque la vitesse devient nulle. Ces problèmes sont liés à une perte d’observabilité, qui se traduit par la disparition de la FEM à très basse vitesse (et en particulier à l’arrêt). Le fonctionnement de toutes les méthodes présentées précédemment n’est alors plus garanti. Pour contourner ce problème, une solution a connu de nombreux développement : l’utilisation de la saillance de la machine.

Cette saillance peut avoir principalement deux sources :

— la saillance structurelle, inhérente à la machine, et qui existe en particulier dans les ma

chines à aimants enterrés ;

— la saillance de saturation, qui doit être crée par l’utilisateur dans les cas où la saillance structurelle n’est pas suffisante (cas des machines à aimants en surface).

Deux méthodes ont été développées pour l’utilisation de cette saillance : l’utilisation de tensions de test en remplacement des tensions de commande, et l’utilisation de signaux sinusoïdaux (tensions ou courants) superposés aux signaux de commande. Il est important de noter que la superposition est effectuée en amont de l’onduleur et via le contrôleur de la machine : aucune électronique spécifique n’est nécessaire pour l’application de ces méthodes.

2.5 Conclusion

Ce chapitre a présenté une large analyse des observabilités de la machine synchrone à aimants permanents. Tout d’abord, l’analyse de l’observabilité de modèles classiques nous a permis de mettre en évidence les mêmes propriétés d’observabilité, en particulier à vitesse nulle, que les modèles soient des modèles simplifiés (LPV) qui ne prennent en compte que le comportement électrique de la MSAP ou non linéaires, qui prennent également en compte le comportement mécanique. Une différence existe cependant entre les modèles de MSAP à pôles lisses ou à pôles saillants. Seuls ces derniers sont observables à vitesse nulle, sous certaines conditions de courant et de tension. Ensuite, nous avons étudié les observateurs d’états simulés au chapitre 4 et présenter le principe des méthodes saillantes.

Chapitre 3

Développement de l’estimateur de vitesse et de la position

Dans un premier temps, nous nous intéresserons ici à l’estimation de la vitesse et de la positon en utilisant le modèle mathématique du MSAP, notamment les équations de tension et du courant développés dans le repère d’estimation au chapitre 1. Ensuite l’injection du signale dans l’axe d sera utilisée pour résoudre le problème d’estimation à basse vitesse. En comparaison avec les approches présentées au chapitre 2, on montrera que cette nouvelle méthode a l’avantage : d’estimé la vitesse sans erreur en régime permanent et fonctionne sur toute la plage de la vitesse.

3.1 Boucle à verrouillage de phase

Une boucle à verrouillage de phase est un appareil ou un algorithme qui amène un signal à suivre un autre [6]. Dans cette section, l’utilisation d’une PLL dans la commande sans capteur du MSAP est discuté. Le bloc de détection de phase calcule le signal d’erreur ε , qui est une fonction de l’erreur d’estimation. L’erreur d’estimation de la position dθ = θ − θˆ provoque une erreur du signal qui peut être écrit sous la forme :

ε = K sin(dθ ) (3.1)

où K est un paramètre de gain spécifique à l’application. L’erreur ε peut être utilisée pour forcer l’estimation de la position à sa valeur réelle à l’aide de l’algorithme non linéaire suivant [10].

dωˆe

dt = k1 ε (3.2)

dθˆ

dt = ωˆe + k2 ε (3.3)

0ù k1 et k2 sont des paramètres de gain. La structure de l’algorithme (3–2), (3–3) peut être consi

déré comme un contrôleur PI et un intégrateur connectés en série.

3.2 Dynamique de la PLL

Pour faciliter l’analyse de la PLL l’erreur ε est linéarisée en supposant sin(θ − θˆ ) = θ − θˆ = dθ . Il s’agit d’une hypothèse valable si l’erreur d’estimation est faible. C’est supposé également que ε est calculé correctement et sans délai. (3–2) et (3–3) sont alors écrit comme :

dωˆe

dt = k1 Kdθ (3.4)

dθˆ

dt = ωˆe + k2 Kdθ (3.5)

En utilisant ces équations linéarisées, la fonction de transfert de la vitesse estimée peut être écrite :

ωˆe (s) = k1 K

(3.6)

ωe (s)

s2 + k2 ks + k1 K

Afin de gagner en robustesse et éviter les oscillations, les deux pôles sont placés sur l’axe réel s = −ρ où ρ est une constante positive. Ce type de placement de pôles est principalement utilisé dans cette étude. Le polynôme caractéristique est alors : s2 + 2ρ s + ρ 2 , donc les paramètres de gain k1 et k2 doit être choisi comme :

k1 =

ρ 2

K , k2 =

2ρ (3.7)

dωe

Supposons que la vitesse réelle ωe soit constante. Alors dans (3–4) et (3–5)

dt (= 0). Si une petite

erreur d’estimation est supposée, les équations pour l’erreur d’estimation peuvent être écrites où

la composante de bruit n est ajoutée au composant d’erreur linéarisé :

dω˜e ρ 2

dt = − K (Kdθ + n) (3.8)

d(dθ ) 2ρ

dt = ω˜e − K (Kdθ + n) (3.9)

Lorsque l’erreur d’angle est résolue à partir de (3–9) et substituée dans (3–8), nous obtenons la relation entre la perturbation n et les erreurs d’estimation pour la vitesse et la position.

ρ 2 s

ω˜e = − K ( (s + ρ )2 )n (3.10)

ρ 2s2 + 5ρ s + 2ρ 2

dθ = − K ( (s + 2ρ )(s + ρ )2 )n (3.11)

L’erreur de vitesse en régime permanent est nulle si la perturbation n est un signal DC. Cela signifie que les perturbations à variation lente comme les incertitudes de paramètres ne produisent pas d’erreur de vitesse en régime permanent. C’est un avantage par rapport aux observateurs discutés dans le chapitre 2.

3.3 Utilisation des équations de tension

3.3.1 Estimation par l’équation de l’axe δ

Ici nous avons résolue directement la vitesse à partir de la composante imaginaire de l’équation de tension dans le référentiel estimé du rotor (127).

V q = Rs Iq + Lq I˙q + ωe Ld Id + ωe Φ f ⇒ ωˆ e =

Vδ − Rˆs Iδ − Lˆ q I˙δ

ϕˆ f

(3.12)

L’estimation de la position est obtenue en intégrant la vitesse estimée. Si les paramètres, cou rants et tensions sont connus avec précision, l’algorithme PLL serait inutile car (3–12) donne une estimation correcte de la vitesse. Les grandeurs réelles du moteur (3–12) peuvent être écrites à l’état stationnaire (les dérivées sont nulles) :

ωˆ 2 =

Vδ − Rˆs Iδ

ϕˆ f

= Vq cos(dθ ) + Vd sin(dθ ) − Rˆs Iq cos(dθ ) − Rˆs Id sin(dθ )

ϕˆ f

(3.13)

L’indice 2 sur ω désigne la sortie de l’estimateur de vitesse direct. Le courant vu par le système de contrôle est :

Ire = Ir eJdθ ⇔ Iγ = Id cos(dθ ) − Iq sin(dθ ); Iδ = Iq cos(dθ ) + Id sin(dθ ) (3.14) Lorsque les équations de tension (110) et (3–14) sont substituées dans (3–13). L’estimation de

la vitesse en régime permanent est :

ωˆ = ω ( ϕ f

ϕˆ f

cos(dθ ) +

Ld − Lq

ϕˆ f

Iq sin(dθ )) +

dRs

ϕˆ f

(Iq cos(dθ ) + Id sin(dθ )) (3.15)

Le système est instable sans correction PLL si les erreurs de paramètres forcent | ωˆ 2 | a être plus petite que | ωˆ e |. La sensibilité des paramètres est la principale raison pour laquelle nous avons exploité la partie réelle du modèle de tension (127). Comme cela sera expliqué dans la section suivante, l’équation de la tension de l’axe γ contient des informations sur l’erreur de position.

3.3.2 Utilisation de l’équation de l’axe γ

La tension de l’axe γ estimé peut être écrit avec le courant constant comme :

Vˆγ = Rˆs Iγ − ωˆ e Lˆ q Iδ (3.16) En rappel l’équation de l’axe γ est donnée par :

Vγ = RIγ − ωˆ e (Iγ cos(dθ ) sin(dθ )(Ld − Lq ) + Iδ (Lq cos2 (dθ ) + Ld sin2 (dθ ))) − ωe Φ f sin(dθ ) (3.17) En soustrayant les deux équations données cihaut, l’erreur de la tension de l’axe γ est alors :

Vγ − Vˆγ = dVγ = −ωˆ e sin(dθ )(Ld − Lq )(Iγ cos(dθ ) + Iδ sin(dθ )) − ωe Φ f sin(dθ ) ≃ −ωe Φ f dθ (3.18)

Le résultat obtenue nous montre clairement que dVγ contient des informations sur l’erreur de la vitesse et un algorithme de type PLL peut être facilement utilisé pour forcer l’erreur de vitesse à la valeur nulle.

3.3.3 Effet des erreurs des paramètres sur la position estimé

En régime permanent, la dérivée de la vitesse du MSAP est nulle et également l’erreur de la vitesse lorsque l’algorithme de type PLL est utilisé. Le signal d’erreur de tension de l’axe γ en régime permanent peut donc s’écrire :

dVγ = ωe dLq Iδ − dRIγ − ωe ((Ld − Lq )(Iγ cos(dθ ) + Iδ sin(dθ ) − Φ f )) sin(dθ ) = 0 |ω =ωˆ

L’erreur de position résolue de (3–19) est :

(3.19)

1 + √

+ 4(Lq − Ld )I2 dLq Φ2

dθ = sin−1 ( −

δ f

); L = L

(3.20)

−2(Lq − Ld )Iδ

Φ f q ̸ d

dθ = − sin−1 (dLq Iδ Φ−1 ); Lq = Ld

Si Iγ est contrôlé à zéro, l’effet de l’erreur de la résistance disparaît. Le flux n’est pas utilisé dans le processus d’estimation. Ainsi, le Lq est la seule source d’erreur en régime permanent si la vitesse et la position sont estimés en utilisant uniquement la PLL.

3.3.4 Implémentation à temps discret

Les équations de l’estimateur doivent être converties en temps discret avant leur mise en œuvre dans un microcontrôleur. Dans cette étude, l’approximation d’Euler est utilisée. La fonction de transfert à temps discret est obtenue en remplaçant la variable s de LAPLACE par z − 1 L’algo

rithme à temps discret du contrôleur PI de la PLL, peut être écrit,

kpts

ω1 (k) = ω1 (k − 1) +

dVγ (k) + kp dVγ (k) = ω1 (k − 1) + dVγ (k)k1ts + dVγ (k)k2 (3.21)

Où ts , kp et ti sont respectivement le temps d’échantillonnage, le gain et le temps d’intégration. L’estimation de la position est mise à jour par l’algorithme intégral suivant :

θˆ1 (k) = θˆ1 (k − 1) + ts (ω1 (k) + ω2 (k)) (3.22)

3.3.5 Remarque

Il sied de dire que l’estimateur que nous avons développé jusqu’ici nécessite la dérivé du courant. Les algorithmes dérivés discrets sont soumis au bruit et nécessitent le filtrage PB supplémentaire. Le modèle du courant présenter dans la section suivante nous a facilité la tâche.

3.4 Utilisation des équations du courant

A partir des équations des axes d’estimation ont peut écrire les expression ciaprès :

dIγ 1

dt = L

(Vγ − Rs Iγ + ωˆ e Lq Iδ + ωe Φ f sin(dθ )) (3.23)

dIδ 1

dt = L

(Vδ − Rs Iδ − ωˆ e Ld Iγ − ωˆ e Φ f cos(dθ ))

Si la dérivée du courant est connue, il est possible d’écrire les expressions du courant à temps discret à la prochaine période d’échantillonnage par :

Iγ (k + 1) = Iγ (k) + ts I˙γ (3.24)

Iδ (k + 1) = Iδ (k) + ts I˙δ

L’équation (324) a pour inconnue dθ les dérivés du courant peuvent être calculer par estimation de la manière ciaprès :

dIγ 1

dIδ

dt = Lˆ

(Vγ − Rˆs Iγ + ωˆ e Lˆ q Iδ (3.25)

dt = Lˆ

(Vδ − Rˆs Iδ − ωˆ e Lˆ d Iγ − ωˆ e Φ f )

Dans le cas de l’équation (324), les composantes à prédire par le logiciel d’estimation sont :

Iˆγ (k + 1) = Iγ (k) + ts Iˆ˙γ

Iˆδ (k + 1) = Iδ (k) + ts Iˆ˙δ

(3.26)

On suppose que les paramètres de (3–24) sont connus avec précision. Si (3–25) est soustrait de

(3–23) l’erreur entre le courant mesuré et estimé est :

dI (k + 1) = I (k + 1) I (k + 1) = ts

eγ (k) ≃

ts Φ f

ωe dθ (k) (3.27)

dI (k + 1) = I (k + 1) I (k + 1) = ts

(eδ (k) − ωˆ e Φ f ) ≃ −

ts Φ f

ω˜ e (k)

(3–28) est simplifiée en supposant une petite erreur de position ( sin(dθ ) = 0 et cos(dθ ) = 1) l’erreur du courant de l’axeγ est proportionnelle à l’erreur de position et l’erreur du courant de l’axe δ est proportionnelle à l’erreur de vitesse. Nous avons estimée la vitesse à l’aide des informations sur l’erreur de vitesse de l’axe q et corriger l’erreur de la vitesse à l’aide des informations d’erreur de la position de l’axe γ .

ωˆ 2 (k + 1) = −ωˆ 2 (k) − k1 dIδ (k + 1) (3.28)

ωˆ e (k + 1) = ωˆ 2 (k + 1) + k2 dIγ (k + 1)

Les gains k1 et k2 sont des paramètres de réglage. L’erreur du courant de l’axe d dépend de la vitesse (3–28) mais nous avons utilisés des gains constants. L’estimation de la position est obtenue par intégration de l’estimation de la vitesse.

3.5 Effet des erreurs des paramètres

Les paramètres Rs et Φ f ne sont pas connus avec précision lorsque l’équation d’erreur du courant est calculé (3–28). L’erreur de l’axe δ peut être écrite :

dIδ (k + 1) = −

(ωe (k)Φ f cos(dθ ) − ωˆ e (k)Φˆ f + dRs Iδ ) (3.29)

Lorsque (3–30) est remplacé dans (3–29) l’équation de ωˆ 2 est :

Φˆ f

ωˆ 2 (k + 1) = ωˆ 2 (k)(1 + k1ts

) (k t Φ f

− 1 s Lq

)(ωe (k) cos(dθ ) +

dRs Iδ

Φ f

) (3.30)

Maintenant l’estimation de la vitesse converge vers :

(ωe Φ f cos(dθ ) + dRs Iδ )

ωˆ 2 =

Φˆ f

(3.31)

Si l’erreur de la résistance et du flux force (332) a être plus petit que ωe l’estimation est instable comme discuté sur l’estimation de la vitesse en utilisant l’équation de tension de l’axe δ . Ainsi, nous avons utilisé l’équation de l’axe γ pour corriger la vitesse estimée (3–32).

A l’état d’équilibre :

ωe = ωˆ 1 + ωˆ 2 =

sin(dθ )(k2 ωets Φ f )

+ (ωe Φ f cos(dθ ) + dRs Iδ )

Φˆ f

(3.32)

où k2 ωe ≃ 0 en supposant l’erreur de position petite nous pouvons écrire : cos(dθ ) = 1 et sin(dθ ) = θ

l’erreur de la position en régime permanent peut être résolu à partir de (3–33).

dθ =

ω (1 Φ f e − Φˆ

) ( dRs

− Φˆ f

)Iδ

(3.33)

(ωe k2ts Φ f )

Une erreur de résistance produit une erreur de position proportionnelle au couple de charge et inversement proportionnel à la vitesse du rotor. L’augmentation de k2 permet une erreur de position plus petite mais le système devient plus sensible au bruit.

3.6 Remarque

Pour la construction de l’estimateur nous avons développé une structure qui combine les points positifs des réflexions précédentes. L’estimateur finale à ce niveau est instable lorsque la vitesse est basse cela peut être vérifier sur les simulations présentées au chapitre 4. D’ou l’importance de l’injection du signal développée dans la section suivante.

3.7 Estimation de la basse vitesse

Un signal de tension haute fréquence sinusoïdal d’amplitude constante est ajouté à la tension de référence dans le référentiel du rotor estimé [4]. Cette méthode est également appelée injection pulsée car le vecteur de tension injecté a les deux composants de séquence positive et négative. Par rapport a notre étude la première tâche est de trouver un vecteur de tension Vi à injecté dans le MSAP. Les grandeurs de fréquence fi sont désignées par l’indice i. l’injection est effectuée dans la direction de l’axe d. Si seulement la distribution du flux de l’axe d oscille, le bruit acoustique est minimisé car aucun couple n’est produit.

Supposons que le signal sinusoïdal soit injecté uniquement dans la direction de l’axe d réel. En suite dθ ≃ 0 et les harmoniques d’ordre supérieur sont ignorées. le vecteur du signale injecté peut s’écrire : Vi = Vmax sin(ωit ) + J0. La fréquence d’injection étant de l’ordre de Kz la résistance peut être négligé par rapport à la réactance inductive Lωi , par conséquent, le MSAP (1–10) peut être modélisée comme une charge inductive pure pour des grandeurs de fréquence fi .

{ Vid ≃ Ld I˙id − ωe Lq Iiq

Viq ≃ Lq I˙iq + ωe Ld Iid + ωe Φ f (3.34)

On peut voir dans (3–34) que les équations des axes d et q sont couplées si ωe ̸= 0, le courant de l’axe q oscille également si le rotor tourne même si aucun signal d’injection n’est ajouté à l’axe q. Cela doit être évité car le but est que seul le courant de l’axe d (et le flux) oscillent lorsque l’erreur de position est nulle. L’accouplement peut être retiré en ajoutant également un signal approprié dans la direction de l’axe q. Si le flux de l’axe q n’oscille pas avec la fréquence fi alors Iiq = 0, Si

Vmax sin(ωit )

zéro Iiq est substitué dans (3–34) alors Iid peut s’écrire Iid = ω L

. Maintenant Viq peut être

i d

résolu et le vecteur d’espace de référence de tension qui compense la vitesse de couplage est :



 Viγ ≃ Vmax cos(ωit )

Vmax

(3.35)

 Viδ ≃

sin(ωit )

L’indice id est maintenant remplacé car en pratique l’injection sera effectuée dans le repère d’es timation. Lorsque les tensions de (334) sont remplacées par (335) le vecteur du flux haute fré quence est :



 Φiγ =

Vmax

ωi

sin(ωit )

(3.36)

 Φiδ = 0

Le flux dans le repère du stator peut s’écrire :

{ Φiα = (Lo + L2 cos(2θ ))Iiα + L2 sin(2θ )Iiβ

Φiβ = (Lo − L2 cos(2θ ))Iiβ + L2 sin(2θ )Iiα

Lorsque les liaisons du flux sont omises le courant dans le repère du stator est :

(3.37)

I = sin(ω t ) Vmax

2ω

( Ld + Lq

L L

cos θˆ −

Ld − Lq

L L

cos(2θ − θˆ )) (3.38)

i d q d q

I = sin(ω t ) Vmax

2ω

( Ld + Lq

L L

sin θˆ −

Ld − Lq

L L

sin(2θ − θˆ ))

i d q d q

Et dans le repère d’estimation les expressions des courants sont :

I = sin(ω t ) Vmax

2ω

( −Ld + Lq

L L

Ld − Lq

− L L

cos(2dθ )) (3.39)

i d q

Vmax Ld − Lq

d q

Vmax

Ld − Lq

Iiδ = − sin(ωit ) 2ω

L L sin(2dθ ) ≃ sin(ωit ) ω dθ L L

i d q

i d q

On peut maintenant voir que la composante de l’axe δ du vecteur courant d’injection est une erreur appropriée pour l’algorithme de type PLL.

et: 'l/1\!>

3.8 Structure de l'estimateur mis au point

Voici le schéma de l'estimateur développé à partir des approches précédentes.

1 j

o-.:J

...t'

,..---.._

<f.........

..........

......)

'---'

..........

,..---.._

.........

<fj

........

"1:::!:

o-.:J

'---'

FIGURE 3.1 -Structure de l'estimateur de vitesse et de la position

FIGURE 3.2 – Structure de l’estimateur de vitesse et de la position

3.9 Conclusion

Plusieurs fois cité dans ce travail de fin d’étude, voici le chapitre qui illustre la procédure de la conception de l’estimateur de vitesse et de la position. Dans un premier temps le modelé mathé matique du MSAP est exploité. Nous avons été inspirer d’abord par l’équation de l’axe δ qui nous a permis de réaliser une estimation directe. Les contraintes observées constituaient, une source de recherche pour améliorer l’estimateur. Dans cette première approche le modèle de tension nous a obligé d’utilisé un filtre pour réduire la brillance, ce qui entraine un cout Supplémentaire. Pour

faire face à cette obstacle, nous avons recourue aux équations du courant dont le résultat nous indique qu’ils ne sont pas vulnérables aux bruits, mais une erreur de vitesse en régime permanent est possible à basse vitesse.

Ainsi les points forts de chaque technique étant complémentaire nous avons développé un estima teur basé sur les deux réflexions. Cependant l’observabilité a vitesse nulle est le dernier problème que nous avons résolu par injection du signale et les résultats de chaque étape est observables sur les simulations présentées au chapitres 4.

Chapitre 4

Résultats des simulations

Dans ce chapitre, les simulations sont réalisées dans le but de valider les approches et les modèles mathématiques développés dans les précédents chapitres. Les données techniques utilisées pour la simulation sont dans l’annexe A. Le moteur fonctionne sous différent régimes, générateur à la vitesse nominale, moteur à la vitesse nominale et moteur à faible vitesse.

En premier lieu l’analyse est basé sur l’équation (110) et le convertisseur de fréquence est sup posé idéale. Les erreurs de paramètres sont d’abord négligées dans un premier temps et analy sées séparément dans la suite.

Ensuite nous avons pris en considération l’équation 122 ou les harmoniques de la distribution du flux d’ordre supérieur sont incluent en considérant le convertisseur de fréquence et le capteur du courant réelle.

La valeur de consigne est en pointillée et la valeur estimée en ligne continue.

Plusieurs simulations sont faites sur l’estimateur conçue au chapitre trois par rapport aux obser vateurs d’état que nous avons largement présentés au chapitre 2. Car le résultat nous montrera qu’il existe une erreur de la vitesse en régime permanent susceptible d’engendrer une rétroaction négative. L’étude de l’estimateur finale est effectué à basse vitesse et à la vitesse nominale sé parément. La marche non idéale comprend la simulation combinée de l’erreur de la résistance et de l’inductance.

L’erreur de la résistance est de 30 pourcent tandis que celle de l’inductance s’évalue à 17 pourcent de la valeur nominale. On note également une erreur du flux de 2 pourcent suite à la variation de la température.

Le capteur du courant peut également engendrer une erreur lorsqu’elle ne pas performent car les courants issus de ce dernier sont utilisés dans l’algorithme de l’estimateur. Dans ce cas une erreur de 10 pourcent est utilisé dans la suite pour étudier le comportement de la machine dans ce cas. Le convertisseur de fréquence est à typologie source de tension (VSI).

4.1 Observateurs d’état

4.1.1 Observateur de Luenberger étendu

FIGURE 4.1 – Vitesse sans erreurs des paramètres

4.1.2 Observateur de Kalman étendu

FIGURE 4.2 – Vitesse sans erreurs des paramètres

4.1.3 Lecture

Les observateurs d’état où la vitesse et la position sont estimées en suivant les courants stato riques ont été brièvement discutés dans le chapitre 2. En comparant par simulation l’observateur de Luenberger étendu et de kalman étendu il n’y a pas de différences significatives entre les performances de ces méthodes testées.

Cependant, de calculs requis par ces deux observateurs d’ordre complet sont différents. Bien

que les algorithmes décrits cidessus aient leurs propres fonctionnalités, nous remarquons des propriétés et des problèmes communs à ces observateurs d’État.

— Instabilité à vitesse nulle. Théoriquement, cela signifie que le modèle du MSAP n’est pas observable si la vitesse est nulle sauf dans le cas de la forte saillance ;

— Erreur d’estimation stable en régime permanent. C’est un problème si la vitesse en régime permanent doit être connue avec précision. Pour surmonter ces problèmes les paramètres doivent être estimés. Cela augmente la charge de calcul et la complexité du système

4.2 Estimation par les équations de tension

4.2.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres

FIGURE 4.3 – Vitesse

FIGURE 4.4 – Erreur de la position

4.2.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance

FIGURE 4.5 – Vitesse

FIGURE 4.6 – Erreur de la position

4.2.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance

FIGURE 4.7 – Vitesse

FIGURE 4.8 – Erreur de la position

4.2.4 Lecture

Il est vrai que l’estimation de la vitesse à partir du modèle mathématique souffre de l’observabi lité à basse vitesse. Nous observons sur les simulations de la présente section ce qui suit si le paramètres sont connues avec précision :

— Pas d’erreur de vitesse en régime permanent quel que soit le mode de fonctionnement

(moteur, au générateur) ;

— Pas d’erreur de position en régime permanent ;

— Les oscillations sont très remarquable en régime transitoire suite aux dérivations du modèle mathématique utilisé. Ce qui implique l’utilisation d’un filtre qui augmente le cout.

Lorsque les valeurs réelle sont utilisé nous pouvons relevé les lectures ciaprès :

— La variation de la résistance suite au réalités physique n’influe sur l’estimation de la vitesse ou de la position en régime permanent, c’est point fort est utilisé dans la construction de l’estimateur finale ;

— L’inductance de l’axe q est la principale source d’erreur de position en régime permanent, cependant nous observons qu’il ya pas d’erreur de vitesse en régime permanent quel que soit le cas.

4.3 Estimation par les équations du courant

4.3.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres

FIGURE 4.9 – Vitesse

FIGURE 4.10 – Erreur de la position

4.3.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance

FIGURE 4.11 – Vitesse

FIGURE 4.12 – Erreur de la position

4.3.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance

FIGURE 4.13 – Vitesse

FIGURE 4.14 – Erreur de la position

4.3.4 Lecture

La simulation nous révèle que :

— La méthode souffre de l’observabilité à faibles vitesse ;

— Si les paramètres sont connue avec précision la vitesse et la position n’ont pas d’erreurs en régime permanent ;

— Les erreurs de paramètres peuvent entrainer une erreur de vitesse lorsque le moteur fonc

tionne à faible vitesse ;

— Le comportement du moteur est fluide en régime transitoire.

— L’influence de la résistance et du flux est très considérable par rapport à l’inductance.

4.4 Estimation par les équations de tension et du courant

4.4.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres

FIGURE 4.15 – Vitesse

FIGURE 4.16 – Erreur de la position

4.4.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance

FIGURE 4.17 – Vitesse

FIGURE 4.18 – Erreur de la position

4.4.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance

FIGURE 4.19 – Vitesse

FIGURE 4.20 – Erreur de la position

4.4.4 Marche idéale, avec l’erreur du flux

FIGURE 4.21 – Vitesse

FIGURE 4.22 – Erreur de la position

4.4.5 Marche non idéale, avec les harmoniques d’ordre supérieur

FIGURE 4.23 – Vitesse

FIGURE 4.24 – Erreur de la position

FIGURE 4.25 – Vitesse

FIGURE 4.26 – Erreur de la position

FIGURE 4.27 – Vitesse FIGURE 4.28 – Erreur de la position FIGURE 4.29 – Vitesse

FIGURE 4.30 – Erreur de la position

FIGURE 4.31 – Vitesse

FIGURE 4.32 – Erreur de la position

FIGURE 4.33 – Vitesse

FIGURE 4.34 – Erreur de la position

4.4.8 Lecture

La simulation nous montre l’impact de la combinaison des points fort de deux approches précé

dentes et nous pouvons conclure que :

— La méthode souffre de l’observabilité à faibles vitesse ;

— Pas d’erreur de vitesse en régime permanent quel que soit le mode de fonctionnement

(moteur ou générateur) ;

— Les effets de la dérivé de la première approche sont supprimé par l’équation de la deuxième approche qui n’est pas susceptible au bruit.

— Les oscillations en régimes permanent sont atténuée et se rapproche d’un comportement fluide.

— Les effets des erreurs de paramétrés sont minimisé comparativement aux deux méthodes présente aux sections précédentes

— Les effets de la marche non idéale du moteur et de l’onduleur diminue avec l’augmentation de la vitesse. Cependant les simulations révèle qu’ils sont acceptable.

4.5 Estimateur globale avec injection du signal

4.5.1 Marche idéale, sans erreur de paramètres

FIGURE 4.35 – Vitesse

FIGURE 4.36 – Erreur de la position

4.5.2 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance et de l’inductance

FIGURE 4.37 – Vitesse

FIGURE 4.38 – Erreur de la position

FIGURE 4.39 – Vitesse

FIGURE 4.40 – Erreur de la position

4.5.3 Marche non idéale, avec les harmoniques d’ordre supérieur

FIGURE 4.41 – Vitesse

FIGURE 4.42 – Erreur de la position

4.5.4 Lecture

Dans cette section les résultats de la simulation nous montres que, le fonctionnement du moteur est performant delà basse vitesse à la vitesse nominale. Mais la sensibilité de l’estimateur au modèle réel de l’entrainement reste une vérité non démenti et admissible.

4.5.5 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre les simulations dans l’environnement MATLAB/Simulink. Afin d’évaluer le comportement dynamique du MSAP munie de l’estimateur de vitesse et de la position ainsi que l’estimation par observation d’état. Les résultats obtenus montrent que l’esti mateur est stable sur toute la plage de vitesses sans entrainé une erreur de la vitesse en régime permanent. Ce qui prouve la validité de la présente étude.

Conclusion générale

Ce travail de fin d’étude, avait pour thème la conception et la simulation d’un estimateur de vitesse et de la position d’un moteur synchrone à aimants permanents. La commande vectorielle de la machine synchrone nécessite la connaissance de la position du rotor et de la vitesse angulaire. La présence de capteurs mesurant ces grandeurs implique plusieurs inconvénients en plus du surcoût ; un plus grand nombre de connexions entre le moteur et la carte de commande ainsi que la réduction de la robustesse. L’état de l’art sur cette problématique révèle deux approches prin cipales : la conception d’observateurs se basant sur des modèles de la machine, et l’utilisation de la saillance. Nous avons testé certaines de ces méthodes en simulation. Les résultats ont permis de montrer la complémentarité des deux approches, la première se révélant moins performante lorsque la vitesse de la machine est faible. La seconde n’est cependant pas efficace pour les machines non saillantes et lorsque des grandes vitesses sont requissent.

L’approche choisie dans ce travail repose sur la combinaison des modèles mathématiques et de l’injection du signale haute fréquence dans la direction de l’axe d. Ainsi dans un premier temps la procédure présentée ciaprès a été observé pour la construction du modèle mathématique :

1. Nous avons tiré l’expression de la vitesse à partir de l’équation de tension de l’axe δ dans le repère d’estimation. Le résultat de la simulation nous montre qu’il y a erreur de la vitesse et de la position en régime permanent si les paramètres de la machine ne sont pas connus avec précision ;

2. Alors en développant l’expression de la tension d’erreur de l’axe γ nous avons aboutie à un modèle similaire à l’erreur dynamique utilisable dans une boucle a verrouillage de phase. La simulation relève que la vitesse est estimée sans erreur en régime permanent quel que soit l’erreur de paramètres. Cependant les dérivés sont très sensibles au bruit et nécessites l’utilisation d’un filtre. Concernant la positon une erreur en régime permanent est possible que lorsque les paramètres ne sont pas connus avec précision ;

3. Enfin nous avons combiné les équations de tension et du courant pour développé un mo dèle très dynamique. Car le modèle basé sur les courants ne nécessite pas le filtrage mais il est sensible à la variation de la résistance, et faiblement à la variation de l’inductance de l’axe q tandis que le modèle de tension ne pas sensible à la variation de la résistance mais plutôt l’inductance est la source principale de l’erreur pour ce modèle.

L’autre approche était d’injecté une tension haute fréquence dans la direction de l’axe d pour ré soudre le problème d’estimation à basse vitesse en utilisant la saillance de la machine. La perfor mance de l’estimateur relativement au divers aspects du moteur et du convertisseur de fréquence est présentée sur les simulations au chapitre 4 qui prouvent la validité de la présente étude. On note une estimation sans erreur de la vitesse en régime permanent quel que soit la variation de paramètres lorsque la machine est alimentée par l’harmonique fondamentale des grandeurs phy sique. Et aussi l’erreur de position est nul ou proche de zéro en régime permanent. La marche non idéale du moteur et de l’onduleur a une influence acceptable sur l’estimateur.

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CHAPITRE 4. RÉSULTATS DES SIMULATIONS

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