Conception et simulation d’un estimateur de vitesse et de la position d’un MSAP

CONCEPTION ET SIMULATION D’UN ESTIMATEUR DE VITESSE ET DE LA POSITION D’UN

MOTEUR SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS

Travail de fin d’études présenté et défendu en vue de l’obtention du grade de bachelier en sciences

de l’ingénieur civil

Par : MBWEBWE KABONGO Ruben

Septembre 2020

Université de Lubumbashi

Faculté polytechnique

Département d’électromécanique

Conception et simulation d’un estimateur de

vitesse et de la position d’un MSAP

Par

Mbwebwe kabongo ruben

Directeur ; Pr Dr Ir KATOND BAY Jean-Paul

Co-directeur ; Ass. Ir Trésor KANIKI

Années académique 2018-2019

Dédicace

A mes parents, KABONGO DILENGE Alexis et KAMWANYA MISENGAMBU Rosaly, pour leurs sacrifices, leur tendresse, leur soutien et leurs prières tout au long de mes études.

A vous mes frères et sœurs, KONGOLO MWAMBA Eldjo ; BASAKULA KATANGALA Joseph ; NGALULA KABONGO Plamedi ; BONGA KABONGO Tegra ; NAZAULA WA NAZAULA Egrabene et BAMPA Dallicia.

A toute la famille MBWEBWE et KABONGO.

Remerciement

Ce travail de fin d’étude a été réalisé à l’Université de Lubumbashi (UNILU) ; au département d’électromécanique de la faculté polytechnique avec l’aide et le soutien de nombreux intervenants clés qui ont grandement contribué à sa réalisation. Aussi, je tiens à les remercier et à leur exprimer toute ma reconnaissance, notamment :

En premier lieu, mon directeur de recherche, le Professeur JeanPaul KATOND BAY, professeur associé à 1 ’UNILU, pour son soutien permanant et les nombreux conseils et informations appor tés. Ces derniers ont grandement contribué à rehausser la qualité de ce travail.

Mon codirecteur, l’Ingénieur Trésor KANIKI (assistant et chercheur à l’UNILU), pour sa disponi bilité et la riche documentation qui m’a permis de mieux cerner de nombreux concepts exposés dans le présent projet. Je tiens enfin à exprimer ma reconnaissance à tous ceux ou celles qui ont de près ou de loin contribué à la réalisation de ce travail et qui ne sont pas nommément cités ici.

Abréviations

Ia , Ib et Ic Courants dans les phases a, b et c

Iα , Iβ Courants équivalents dans le repère α − β

Va , Vb et Vc Tensions appliquées aux phases a, b et c

Vα , Vβ Tensions équivalentes dans le repère α − β Φa , Φb et Φc Flux dans les enroulements a, b et c Φα , Φβ Flux équivalents dans le repère α − β

Φ f α , Φ f β Composantes du flux de l’aimant permanent dans le repère α − β

Φd , Φq Flux équivalents dans le repère dq

eα , eβ FEM dans le repère α − β

ed , eq FEM dans le repère dq

MSAP Machine Synchrone à Aimants Permanents

FEM Force ElectroMotrice

PLL PhaseLocked Loop (Boucle à Verouillage de Phase)

EKO Extended Kalman Obsever (Observateur de Kalman étendu)

∆L Fluctuation d’inductance

Ld Inductance équivalente sur l’axe d

Lq Lq Inductance équivalente sur l’axe q

Ls Inductance des machines à pôles lisses

Φ f Valeur nominale du flux de l’aimant permanent

θ Position électrique du rotor

ω Vitesse de rotation angulaire mécanique du rotor ωe Vitesse de rotation angulaire électrique du rotor Cm Couple électromagnétique sur l’arbre moteur

Cch Couple des charges internes et externes sur l’arbre moteur

p Nombre de paires de pôles du moteur (il y a 4p pôles)

J Inertie de l’arbre moteur

fv Coefficient de frottements visqueux sur l’arbre moteur

dθ Erreur d’estimation de position

VSI Voltage source Inverter

Résumé

Le problème de la commande sans capteur mécanique de la machine synchrone à aimants per manents (MSAP) est un problème très étudié dans le domaine de l’automatique et de l’électro technique. Le travail présenté s’intéresse au problème particulier d’estimation sur toute la plage de vitesses. L’objectif est de proposer un estimateur simple et performant capable de fonctionné à basse et à haute vitesse sans entrainer une erreur de la vitesse et de la position en régime permanent.

La position du rotor et la vitesse angulaire du MSAP peuvent être estimées par diverses méthodes. Les estimateurs peuvent être divisés en estimateurs basés sur un modèle et en estimateurs par injection du signale. Les méthodes fondées sur le modèle calculent des grandeurs mécaniques à l’aide de la représentation mathématique du moteur et les méthodes d’injection exploitent gé néralement la saillance du MSAP. La tension injectée crée de courants modulés par la position du rotor. Les informations de position peuvent être extraites à partir de ces courants mesurés. Dans ce travail de fin d’études un estimateur est développé à partir des deux approches, en pre mier lieu la conception de l’estimateur à partir du modèle de la machine en utilisant une boucle à verrouillage de phase pour forcer l’erreur inhérente au procéder à la valeur nulle. Ensuite une injection du signale haute fréquence basé sur la saillance de la machine est effectuée dans la direction de l’axe d.

Les résultats obtenus par simulation montrent que l’estimateur proposé est stable sur la plage de vitesse nominale, y compris la zone de vitesse nulle.

Table des matières

Dédicace

Remerciement

Résumé

Introduction générale

1 Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents

1.1 Propriétés des machines synchrones à aimants permanents

. . . . . . . . . . . .

1.2 Hypothèses de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Équations de la machine synchrone à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Comportement électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Comportement mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Modèle du MSAP avec des harmoniques de la distribution du flux d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Modèle dans le nouveau repère γ − δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Modèle d’état du MSAP dans le repère dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Modèle d’état dans le repère fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Modélisation de l’onduleur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Commandabilité du MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.1 Accessibilité forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.2 Application au MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 Synoptique de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8.1 Importance du capteur de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2	Commande sans capteur mécanique du moteur synchrone à aimants permanents	14
	2.1 Observabilité du MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
	2.1.1 Observabilité avec mesure de la vitesse et de la position . . . . . . . . . .	15
	2.1.2 Observabilité sans mesure de la vitesse et de la position . . . . . . . . . .	15
	2.2 Observateur de Luenberger étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
	2.2.1 Application à l’estimation de la vitesse et de la position du MSAP . . . . . .	19

3 Développement de l’estimateur de vitesse et de la position 22

3.1 Boucle à verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Dynamique de la PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Utilisation des équations de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 Estimation par l’équation de l’axe δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 Utilisation de l’équation de l’axe γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.3 Effet des erreurs des paramètres sur la position estimé . . . . . . . . . . . 24

3.3.4 Implémentation à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Utilisation des équations du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Effet des erreurs des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7 Estimation de la basse vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.8 Structure de l’estimateur mis au point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Résultats des simulations 32

4.1 Observateurs d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Observateur de Luenberger étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.2 Observateur de Kalman étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.3 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Estimation par les équations de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.4 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Estimation par les équations du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.4 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Estimation par les équations de tension et du courant . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Marche idéale, sans erreurs de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Marche idéale, avec l’erreur de l’inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.3 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.4 Marche idéale, avec l’erreur du flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.8 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Estimateur globale avec injection du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5.1 Marche idéale, sans erreur de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5.2 Marche idéale, avec l’erreur de la résistance et de l’inductance . . . . . . . 46

4.5.3 Marche non idéale, avec les harmoniques d’ordre supérieur . . . . . . . . . 47

4.5.4 Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Conclusion génerale 49

Bibliographie 50

Annexe A 52

Annexe B 53

Table des figures

1.1 Représentation de la MSAP dans le repère triphasé (a, b, c).[20] . . . . . . . . . . 3

1.2 Deux types de structures du MSAP.[20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Repères triphasé (a,b,c), diphasé (α , β ) et diphasé (dq).[20] . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Repères diphasé (α , β ), diphasé (dq) et diphasé (γ − δ ) . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Représentation simplifiée de l’onduleur.[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Structure de la commande vectoriel.[19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Structure de l’estimateur de vitesse et de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Structure de l’estimateur de vitesse et de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 Vitesse sans erreurs des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Vitesse sans erreurs des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.8 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.9 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.10 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.11 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.12 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.13 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.14 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.15 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.16 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.17 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.18 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.19 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.20 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.21 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

TABLE DES FIGURES

PWO

4.22 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.23 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.24 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.25 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.26 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.27 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.28 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.29 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.30 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.31 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.32 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.33 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.34 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.35 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.36 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.37 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.38 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.39 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.40 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.41 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.42 Erreur de la position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.43 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.44 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.45 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.46 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.47 Bloc simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Liste des tableaux

4.1 paramètres du MSAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Introduction générale

Que ce soit pour accroître l’efficacité énergétique ou pour optimiser et améliorer les contrôles des procédés, les industriels s’équipent de plus en plus d’entraînements à vitesse variable par les moteurs électriques. Et pour répondre aux contraintes économiques et environnementales de plus en plus importantes les grands avionneurs et automobilistes comme Airbus, Boeing et Toyota ont des objectifs de réduction drastique des émissions de CO2 . Cette diminution est rendue possible par la réduction du poids des avions, via l’utilisation de matériaux composites sur les modèles récents, mais aussi par le remplacement de circuits pneumatiques et hydrauliques par des circuits électriques, globalement plus légers et consommant au final moins de carburants [5]. Cet objectif de réduction est notamment permis par le développement de la machine synchrone à aimants permanents (MSAP).

Le principal avantage de la machine synchrone à aimants permanents est en effet d’avoir une puissance massique élevée, visàvis des autres machines électriques telles les machines asyn chrones [7].Par contre, la commande performante de cette machine sans balais nécessite une bonne connaissance de la position relative de son rotor. Or les capteurs utilisés pour la mesure de cette position (résolveurs, codeurs incrémentaux, sondes à effet Hall...) sont coûteux (achat, installation, maintenance) et augmentent le volume de l’actionneur complet (notamment le nombre de câbles), ce qui réduit la fiabilité de l’ensemble. Pour contourner ces problèmes, de nombreuses méthodes ont été développés depuis les années 1990 pour l’estimation de la position. Ces mé thodes, que l’on peut regrouper sous l’appellation de capteurs logiciels ont pour avantage de ne pas nécessiter d’électronique supplémentaire. Elles peuvent être divisées en deux catégories : d’une part, les méthodes basées sur des modèles de la machine, et les observateurs associés, et d’autre part, les méthodes basées sur la saillance de la machine. Les méthodes basées sur un modèle présentent de faibles performances lorsque la machine tourne à une vitesse faible ou lorsqu’elle est à l’arrêt. Les méthodes reposant sur la saillance montrent leurs limitent pour les machines non saillantes et lorsque la vitesse est proche de la vitesse nominale.

L’objectif de ce travail de fin d’études est de concevoir un estimateur de vitesse et de la position simple et efficace sur toute la plage de la vitesse. Une stratégie simple est développée pour l’es timation de la vitesse sans erreur en régime permanent en utilisant une boucle à verrouillage de phase. Cependant la méthode que nous avons développée souffre de même faiblesses que les observateurs d’état dans la région de faibles vitesses. Pour résoudre ce problème nous avons amélioré l’estimateur par une injection du signale haute fréquence dans l’axe d. Ainsi l’estimateur conçu est basé sur les modèles mathématiques du MSAP et sur l’injection du signale et se révèle stable sur toute la plage de la vitesse de zéro à la vitesse nominale en régime permanent.

Outre, l’introduction et la conclusion,

Au chapitre 1, les propriétés du MSAP sont brièvement discutées. La modélisation du moteur dans les divers repères en tenant compte des harmoniques d’ordres supérieur est présentée. Ainsi que le modèle de commande classique. Le chapitre 2 met en évidence les outils et les méthodes de commandes sans capteurs. Au chapitre 3 l’objectif poursuivis par la présente étude est répondu par le développement de l’estimateur. Enfin, le chapitre 4 est basé sur les simulations des differants modèles et approches et la justification de la validité de ces approches.

Chapitre 1

Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents

Ce chapitre présente la modelisation du MSAP en vue de la commande sans capteur mécanique. Dans un premier temps, le fonctionnement de la machine synchrone est présenté, et en parti culier une propriété particulière qui est la variation de l’inductance avec la position des aimants (saillance). Cette description permettra la mise en équation de la machine, qui peut être exprimée dans différents repères correspondant à la réalité physique (repère triphasé a,b,c), à un repère équivalent lié au stator de la machine (repère diphasé α , β ) ou à un repère tournant avec le rotor (repère diphasé dq). La description d’une commande classique du MSAP mettra en avant l’im portance du capteur de position, que l’on cherche à remplacer dans le cadre de la commande sans capteur.

1.1 Propriétés des machines synchrones à aimants perma

nents

La machine étudiée est de type synchrone à aimants permanents, utilisée en raison de sa grande puissance massique qui en fait un atout dans les applications embarquées comme l’automobile et l’aéronautique. Elle est également de type ≪ brushless ≫(sans balais collecteurs), pour des raisons de maintenance et pour éviter les arcs électriques. Son principe de fonctionnement repose sur la synchronicité entre les champs magnétiques produits par :

— un stator constitué d’enroulements triphasés (a,b,c), alimenté par des courants périodiques

Ia, Ib et Ic dont les fondamentaux sont déphasés deux à deux de 120 degrés ;

— un rotor constitué d’aimants créant un flux magnétique permanent(Φ f )à travers les spires des enroulements du stator.

Ce fonctionnement peut être résumé par la figure( 1.1).

Pour assurer cette synchronicité, la connaissance de la position θ du rotor de la machine est nécessaire. Elle définit en effet la position de la direction d des aimants permanents, ainsi que la direction q en quadrature avec la direction d. On distingue en outre deux types de structures d’aimants pour les moteurs synchrones à aimants permanents : d’une part les structures à aimants surfaciques ou superficiels, et d’autre part les structures à aimants enterrés (Fig. 1.2).

La structure de la machine a un effet sur l’inductance de la machine :

— dans le cas des machines à aimants en surface, l’inductance peut être considérée comme

constante pour toutes les positions du rotor par rapport au stator. En effet les aimants per manents ont ici une très faible perméabilité, et peuvent donc être considérés comme de l’air pour le calcul de l’inductance. La machine est alors dite à pôles lisses, et de manière gé nérale, toutes les machines dont la variation d’inductance est trop faible pour être mesurée ou exploitée sont appelées machines à pôles lisses.

FIGURE 1.1 – Représentation de la MSAP dans le repère triphasé (a, b, c).[20]

FIGURE 1.2 – Deux types de structures du MSAP.[20]

— dans le cas des machines à aimants enterrés, on aura, par contre, une différence de per méabilité entre le fer et l’aimant, ce qui provoque une variation de l’inductance avec la position. Ce phénomène est appelé saillance magnétique, et de manière générale, on ap pellera machines saillantes ou (pôles saillants) les machines dont l’inductance varie avec la position.

Cette saillance a notamment une influence sur le couple électromagnétique généré, qui dépendra fortement de l’inductance [19]. On notera L¯ la moyenne et ∆L l’amplitude de variation de l’induc tance sur un tour électrique.

1.2 Hypothèses de modélisation

Certaines hypothèses classiques sont admises pour la modélisation des machines électriques. Elles permettent d’avoir un modèle simplifié pour la commande et également pour la synthèse de l’estimateur :

— Hypothèse 1 : les pertes par hystérésis et par courant de Foucault sont négligées ;

— Hypothèse 2 : Les effets de la saturation magnétique et de la température du moteur sont ignorés ;

— Hypothèse 3 : la composante homopolaire est supposée nulle pour les grandeurs stato

riques, le système polyphasé est équilibré.

— Hypothèse 4 : Les harmoniques de fente (couple de denture) ne sont pas modélisées.

— Hypothèse 5 : La symétrie géométrique des pôles du stator et du rotor est supposée.

1.3 Équations de la machine synchrone à aimants permanents

Le courant à appliquer dans les bobines dépend, selon la partie précédente, de la position des aimants, qui est aussi celle du rotor de la machine. Pour simplifier la commande, deux repères équivalents au repère (a,b,c) sont introduits :

— un repère diphasé fixe α , β , lié au stator ;

— un repère diphasé tournant dq, lié au rotor (avec d la direction de l’aimant).

Le passage des variables électriques d’un repère à un autre est réalisé par l’intermédiaire de transformations : les transformations de Park et de Clarkes/Concordia. La transformation de Park et sa réciproque dépendent notamment de la position θ de la machine dans le cas du passage au repère dq (Fig. 1.3). Dans cette section, les équations de la machine sont présentées, d’abord dans le repère triphasé (a,b,c), qui correspond à la réalité physique, puis dans les repères diphasés équivalents. Elles mettent en évidence un double comportement : un comportement électrique et un comportement mécanique.

FIGURE 1.3 – Repères triphasé (a,b,c), diphasé (α , β ) et diphasé (dq).[20]

1.3.1 Comportement électrique

Les équations suivantes extraites de [19] sont celles qui seront utilisées dans la suite du présent travail de fin d’étude.

Équations dans le repère triphasé

Les relations entre tensions, courants et flux dans les enroulements a, b et c sont données par les équations suivantes :

Va

Ia

Φa

V b = R3 Ib + d t Φb (1.1)

V c Ic Φc

En particulier, le flux est donné par :

Φa

Ia

 cos(2θ ) 

2π

Φb = L3 Ib + Φ f cos(2θ − 3 )

(1.2)

Φc Ic



cos(2θ +

2π 

)

Où θ est la position électrique de la machine.

Les matrices de résistance et d’inductance étant égales à



L(2θ ) M(2θ −

2π

) M(2θ +

2π 

)

Rs 0 0   π 3 3 

R3 =  0 Rs 0  ; L3 = M(2θ − 2

) L(2θ +

) M(2θ ) 

0 0 Rs  3 3

2π 

Avec :

M(2θ 2

) M(2θ ) L(2θ ) 

L(θ ) = L¯ + ∆L cos(θ )

M(θ ) = − 2 L¯ + ∆L cos(θ )

Équations dans le repère lié au stator

Ces équations sont calculées par le passage du repère triphasé au repère diphasé fixe lié au stator (transformation de Concordia). Dans ce repère, les variables électriques(tensions, courants et flux permanents) varient toujours de façon sinusoïdales avec la position, mais sont déphasées de 90. Ainsi, les équations générales sont données par :

[V α ]

V β

= R2

[Iα ]

Iβ

+ L2

[α ]

− ωe Φ f

[ sin(θ )]

(1.3)

cos(θ )

R2 et L2 sont les matrices de résistance et d’inductance équivalentes. Dans le cas général des ma chines saillantes, ces matrices dépendent non seulement de la position, mais aussi de la vitesse électrique du rotor ωe [16] et sont données par :

2 [L¯ + ∆L cos(2θ ) ∆L sin(2θ )

]

(1.4)

L2 = 3

∆L sin(2θ )

L¯ − ∆L cos(2θ )

[Rs − 3ωe ∆L sin(2θ ) 3ωe ∆L cos(2θ )

]

(1.5)

R2 =

3ωe ∆L cos(2θ ) Rs + 3ωe ∆L sin(2θ )

Équations dans le repère lié au rotor

Dans ce repère, les variables électriques ne dépendent plus de la position et sont par conséquent plus simples à commander. En particulier les inductances Ld et Lq sur les axes respectifs d et q correspondent aux minimum et maximum de la variation d’inductance dans le repère α − β et sont alors donnés par résolution de :

L¯ = Ld + Lq

∆L = Ld − Lq

(1.6)

(1.7)

Les équations mettent en avant le couplage entre les axes d et q par les inductances Ld et Lq :

{ V d = Rs Id + Φ˙ d − ωe Φq

V q = Rs Iq + Φ˙ q + ωe Φd (1.8)

Les flux dans le repère dq étant donnés par :

{ Φq = LdId + Φ f

Φd = LqIq (1.9)

En combinant les équations (1.8) et (1.9), les équations en courant sont obtenues :

{ V d = Rs Id + LdI˙d − ωe LqIq

V q = Rs Iq + LqI˙q + ωe LdId + ωe Φ f (1.10)

on peut identifier des FEM dans le repère dq. Elles n’ont plus seulement pour origine le flux permanent, mais également le couplage par les inductances :

{ ed = −ωe LqIq

eq = LdId + ωe Φ f (1.11)

Ces FEM sont en particulier utilisées pour le découplage des axes d et q dans la commande. En compensant les FEM, on obtient un système de deux équations du première ordre noncouplées, dont les variables ne dépendent plus de la vitesse, ce qui est plus simple à commander.

1.3.2 Comportement mécanique

Au comportement électrique de la machine décrit dans la section précédente peut être ajouté le comportement mécanique associé au mouvement du rotor. Ce dernier est soumis au couple électromagnétique crée par le synchronisme entre les champs magnétiques au stator et au rotor d’une part, et à un ensemble de couple résistants d’autre part. En particulier on peut citer comme couples résistants [8] :

— le couple de détente, résultant de l’interaction entre les aimants et la structure du stator, et dépendant de la position ;

— le couple de frottements visqueux, avec fv le coefficient de frottements visqueux ;

— le couple de frottements secs ;

— le couple des charges appliquées par l’extérieur, inconnu et variable.

Équation mécanique

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au rotor, on obtient l’équation suivante :

dω

J dt = Cem − fv − Cch (1.12)

Avec Cch l’ensemble des charges internes et externes. Le couple électromagnétique est donné par les formules :

Cem = 2 p(Φβ Iα + ΦIβ ) (1.13)

Cem = 2 p(Φ f Iq + (Ld − Lq)IdIq) (1.14)

Avec p le nombre de paire de pôles du moteur.

Généralement, on cherche à commander le courant Iq pour commander le couple, et à commander le courant Id à zéro pour minimiser les pertes par effet Joule et éliminer le couple dû à la saillance.

1.3.3 Modèle du MSAP avec des harmoniques de la distribution du flux d’ordre supérieur

Dans cet travail de fin d’étude, la commande sans capteur est appliqué. Cela signifie que la vitesse et la position sont déterminé à l’aide des informations de courant et de tension. Ces grandeurs électriques contiennent les harmoniques causées par des propriétés non idéales de la machine et du convertisseur de fréquence. Pour avoir un estimateur performant, un modèle plus précis du moteur synchrone à aimants permanents doit être utilisé.

Inductances de phases

Dans un cas général, les self inductances des phases sont [17] :

∞

Lsa (θ ) = L¯ + ∑ Ls,2n cos(2nθ )

n=1

Lsb (θ ) = Lsa cos(θ −

Lsc (θ ) = Lsa cos(θ +

2π

) (1.15)

2π

)

De même, les inductances mutuelles entre les phases peut être écrit :

∞

L f ,ab (θ ) = L f ,o + ∑ L f ,2n cos(2nθ −

n=1

∞

L f ,ca (θ ) = L f ,o + ∑ L f ,2n cos(2nθ +

n=1

n2π

)

n2π

) (1.16)

∞

L f ,bc (θ ) = L f ,o + ∑ L f ,2n cos(2nθ )

n=1

Distribution du flux et équations de tension

La distribution du flux dans l’enroulement du stator peut être exprimée comme une somme de cosinus impairs [10].

 cos((2n − 1)θ ) 

∞ 2π

n − 1)(θ − ))

Φ f ,abc = ∑ Φ f ,(2n−1) cos((2 3 



(1.17)

n=1

 2π

cos((2n − 1)(θ + 3 ))

L’amplitude de la (2 n 1) ème composante harmonique diminue rapidement lorsque n augmente. Les amplitudes des harmoniques de flux Φ f (2n−1) dépendent de la forme spécifique des aimants permanents et la structure d’enroulement du stator. Habituellement, dans la littérature, seule la première composante Φm,1 est incluse. En utilisant (1–15) (1–17) les flux du MSAP peuvent être écrits

Φ⃗abc = Labc I⃗abc + Φ⃗f ,abc (1.18)

 Lsa (θ ) L f ,ab (θ ) L f ,ac (θ )

Ia

Labc = L f ,ba (θ ) Lsb (θ ) L f ,bc (θ ) ; I⃗abc = Ib

L f ,ca (θ ) L f ,cb (θ ) Lsc (θ ) Ic

Dans le repère du rotor les flux des axes d et q sont donnés par l’expression ciaprès.

Φd = Φ f d + LddId + LdqIq (1.19)

Où [14]

Φd = Φ f q + LqqIq + LdqId

∞

Ldd = Ld + ∑ Ldd,6n cos(6nθ )

n=1

∞

Lqq = Lq + ∑ Lqq,6n cos(6nθ )

n=1

∞

Ldq = ∑ Ldq,6n sin(6nθ ) (1.20)

n=1

∞

Φ f d = Φ f + ∑ Φ f d,6n cos(6nθ )

n=1

∞

Φ f q = ∑ Φ f q,6n sin(6nθ )

n=1

Une description plus détaillée de la formation des harmoniques d’inductance peut être trouvée dans [17]. On peut voir dans (1–20) que la distribution du flux statoriques dans le repère d, q contiennent la composante moyenne et multiples des sixièmes harmoniques. Dans le référentiel stationnaire, la distribution du flux contiennent des harmoniques d’ordre 5,7,11,13,17,19…

Ici (1–20) est tronqué pour ne contenir que la 6e harmonique ( n = 1) à la fin de la modélisation cela peut être fait parce que les amplitudes des 6n èmes harmoniques diminuent rapidement lorsque n augmente. L’équation (2–20) est le cas général où Ldd,6 , Lqq,6 et Ldq,6 ont des valeurs différentes. En utilisant la limite susmentionné on peut écrire :

Ldd = Ld + L6 cos(6θ )

Lqq = Lq − L6 cos(6θ )

Ldq = −L6 sin(6θ ) (1.21)

Φ f d = Φ f + (Φ f ,5 + Φ f ,7 ) cos(6θ ) = Φ f + Φ f d,6 cos(6nθ )

Φ f q = (−Φ f ,5 + Φ f ,7 ) sin(6θ ) = Φ f q,6 sin(6nθ )

En utilisant (1–19) et (1–21), nous pouvons écrire le modèle de tension (1–10) du MSAP dans le référentiel du rotor où les harmoniques de 6ème ordre sont incluses.

Vd = RId + Ld I˙d − ωe Lq Iq + L6 cos(6θ )I˙d − L6 sin(6θ )I˙q

−5ωe L6 sin(6θ )Id − 5ωe L6 cos(6θ )Iq − 6ωe Φ f d6 sin(6θ ) − ωe Φ f q6 sin(6θ ) (1.22)

Vq = RIq + Lq I˙q + ωe Ld Id − L6 cos(6θ )I˙q − L6 sin(6θ )I˙d

+5ωe L6 sin(6θ )Iq − 5ωe L6 cos(6θ )Id + 6ωe Φ f q6 cos(6θ ) + ωe Φ f d6 cos(6θ )

Dans cet travail de fin d’étude , la modélisation du MSAP est basé sur (1–22) lorsque les propriétés non idéales sont étudiées.

Équation mécanique

L’équation du couple électromagnétique peut être dérivée de l’expression de l’énergie stockée dans le champ couplant les systèmes électriques et mécaniques, stator et rotor. Si des conditions magnétiques linéaires sont supposées l’expression de trois phases peut être écrite pour l’énergie stockée dans le champ de couplage du MSAP [12].

1 T T

Wcham ps (I, θ ) = 2 Iabc Labc (θ )Iabc + Iabc Φ f ,abc (θ ) (1.23)

dans l’entrefer du MSAP. Il est montré dans [12] que sous ces hypothèses, le taux de changement

de l’énergie mécanique du MSAP est le même que le changement de l’énergie stockée dans le champ de couplage dans l’entrefer. Le taux de variation de l’énergie mécanique est du couple produit est :

∂ W (Iabc , θ )

1 T

∂ Labc (θ )

T ∂ Φ f ,abc (θ )

Ce (Iabc , θ ) = p

∂ θ = p( 2 Iabc

Iabc + Iabc

∂ θ ) (1.24)

p est le nombre de paires de pôles. (1–24) donne dans le repère de park l’expression suivante :

1 r T ∂ Labc r

r T ∂ Φ f ,abc (θ )

Ce (θ ) = p( 2 (Kinv I )

Kinv I

∂ θ

+ (Kinv I )

∂ θ ) (1.25)

où Ir = [Id Iq ]T et Kinv la matrice de transformation inverse de park. Le couple de denture n’est pas inclus. Si l’expression du couple électromagnétique est tronqué pour contenir des harmoniques jusqu’au 6ème ordre (1–25) peut être écrit :

3 2 2

Ce (θ ) = 2 p{Φ f Iq + (Ld − Lq )Id Iq − 2L6 ((Id − Iq ) sin(6θ ) + 2Id Iq cos(6θ )) (1.26)

+Iq cos(6θ )(Φ f d,6 + 6Φ f q,6 ) − Id sin(6θ )(Φ f q,6 + 6Φ f d,6 )}

Le premier composant 3 pΦ I

est le principal composant producteur du couple, le second est le

2 f q

couple de réticence causé par la saillance principale. Les autres termes sont dus aux harmoniques

dans les inductances et la distribution du flux du rotor, Ils dépendent de la position du rotor.

1.3.4 Modèle dans le nouveau repère γ − δ

Le modèle dans le repère dq présenté précédemment est basé sur la position θ mesurée. Dans certaines applications, la position mesurée peut être biaisée en raison d’un offset sur le capteur, ou indisponible dans le cas de notre étude. Pour cela, on introduit ici un nouveau repère, nommé repère γ − δ . Ce repère se rapproche du repère présenté dans [12]. Ici, on applique la transformée de Park , mais on ajoute un terme dθ . Nous sommes ravie d’utilisé ici l’équation(110) car le modèle non idéal (122) est mise en évidence dans le chapitre3. Le passage du repère de park au nouveau repère est donné par (figure 1.4) : V re = V r eJdθ .

FIGURE 1.4 – Repères diphasé (α , β ), diphasé (dq) et diphasé (γ − δ )

En fin nous avons les expressions suivante après projection.

Vγ = RIγ − ωˆ e (Iγ cos(dθ ) sin(dθ )(Ld − Lq ) + Iδ (Lq cos2 (dθ ) + Ld sin2 (dθ )))

−ωe Φ f sin(dθ ) (1.27)

Vδ = RIδ − ωˆ e (−Iγ (Lq sin2 (dθ ) + Ld cos2 (dθ )) − Iδ cos(dθ ) sin(dθ )(Ld − Lq ))

+ωe Φ f cos(dθ )

Ou dθ = θ − θˆ

1.4 Modèle d’état du MSAP dans le repère dq

La représentation du modèle d’état demande, dans un premier temps, la définition du vecteur d’état X, du vecteur d’entrée u et du vecteur de sortie y. Dans le cas fréquent de la représentation d’une machine électrique dans le plan dq, les entrées de la machine sont les tensions statoriques Vd et Vq lorsqu’elles est alimentées en tension et les courants statoriques Id et Iq représentent le vecteur de sortie. Le couple de charge Cr est considéré généralement comme une perturbation à compenser par le régulateur de vitesse ou de position du rotor. Le modèle d’état s’écrit :

 Rs

−

Id +

Iq ω

  1 

Id  

d Iq  

Rs Ld

− −

Φ f

Id ω − ω

 Ld



1  [Vd ]

dt ω  = 

  0

L  V

 Lq Lq Lq

 +  

(1.28)

  

θ 

pΦ f

P(Lq

− Ld )

1  

 

d  q

0 

− Iq −

Id Iq − Cr 

pω 0 0

1.5 Modèle d’état dans le repère fixe

Le modèle d’état de la machine dans le repère fixe est :

[Vα ] = [Rs + PLα PLα β

] [Iα ]

+ ω Φ f

] (1.29)

Vβ PLα β Rs + PLβ Iβ

e − sin θ cos θ

1.6 Modélisation de l’onduleur de tension

Dans notre travail nous avons choisi l’onduleur de tension commandé par la technique de Modu lation de Largeur d’Impulsions (MLI), la modulation sinustriangle a été choisie pour la génération des tensions d’alimentation du MSAP.

Du fait que les constantes de temps des machines et des régulateurs sont très grandes devant le temps de transition d’un état à l’autre des composants semiconducteurs, on peut faciliter la modé lisation et réduire le temps de simulation en modélisant l’onduleur par un ensemble d’interrupteurs idéaux. La figure I.5 représente le schéma de cet onduleur et son modèle. Les six interrupteurs de l’onduleur relient les deux bornes de la source continue de tension aux trois phases de la ma chine. Les tensions de sortie aux bornes de l’onduleur sont prises par rapport au point fictif ”o” de la source de l’onduleur. Une fonction logique décrit l’état de chaque interrupteur, sa valeur vaut un (1) si l’interrupteur est fermé et zéro (0) s’il est ouvert.Cette fonction est définie par :

{ 0

Fi =

1 (1.30)

FIGURE 1.5 – Représentation simplifiée de l’onduleur.[2]

Les tensions de sortie sont obtenues par la relation suivante :

Van 

 2 −1 −1 Vao 

Vbn  = 3 −1 2 −1 Vbo  (1.31)

Avec

Vcn

−1 −1 2

Vco

Van = − 3 (Vao + Vbo + Vco )

En utilisant les fonctions de connexion, les tensions composées de l’onduleur sont exprimées de la manière suivante :

Vab = Van − Vbn

Vbc = Vbn − Vcn (1.32)

Vca = Vcn − Van

Les tensions de branchesVao , Vbo , Vco peuvent être exprimées en fonction des fonctions logiques

Fi par :

Vao = 2 E F1

Vbo = 2 E F2 (1.33)

Vco = 2 E F3

En remplaçant Vao , Vbo , Vco dans la relation (1.31) on obtient

Van 

1  2 −1 −1 F1 

Vbn  = 6 E −1 2 −1 F2  (1.34)

Vcn

−1 −1 2 F3

1.7 Commandabilité du MSAP

Avant de développer des structures de commande du MSAP, il convient d’aborder la question de la commandabilité des modèles non linéaires. L’étude de la commandabilité d’un système non linéaire est, dans notre cas, effectuée localement. Elle est analysée autour d’un état xo . Ceci est le caractéristique d’un système non linéaire où le principe de superposition n’est plus applicable. Nous introduisons cidessous une notion d’accessibilité qui permet d’approcher la notion de com mandabilité classique pour un système non linéaire. [15].

1.7.1 Accessibilité forte

L’accessibilité forte d’un système non linéaire et affine en entrée

X˙ = f (x) + ∑ gi (x)ui ; x ∈ Rn ; u ∈ Rm

i=1

demande une distribution d’accessibilité D(x) de rang plein :

rangD(x) = n

où

Avec

:; D(x) = s pan{ad j gi (x); i = 1, ..., m; j = 0, 1, 2} (1.35)

ad j gi = [

j−1

gi , gi ] , j ≥ 2, ado = gi

où :

f ad f

∂ gi ∂ f

ad f gi = ( ∂ x ) f − ( ∂ x )gi (1.36)

Dénote le crochet de Lie de deux champs de vecteurs.

1.7.2 Application au MSAP

On calcule les distributions possibles d’accessibilité par :

pω

 1 0 

 Ld Ld 

D3 (x) = s pan{g1 , g2 , ad f , g2 } =  0 −

Rs 



 Ld 2

 

 0 0 − pΦ f + p(L

L )JL I 

JLq

D4 (x) = s pan{g1 , g2 , ad f g2 , ad2 g2 }

d − q q d

 1

 Ld

 1

 Ld



− pω



a1 (x)



a (x) 



 0 0 − pΦ f + p(Ld − Lq ) I

a (x) 

 JLq



JLq d 3 



 0 0 0 − pΦ f + p(Ld − Lq ) I 

JLq

Φ f

JLq d

Il s’ensuit : D3 (x) = 3 et D4 (x) = 4 si id ̸=

d −

. Cette condition est en pratique satisfaite car

Lq)

Id dans les MSAP est très inférieur à (L

Φ f . Les deux modèles d’état (I.28) et (I.29) sont donc

Lq)

d −

localement commandable.

1.8 Synoptique de commande

FIGURE 1.6 – Structure de la commande vectoriel.[19]

1.8.1 Importance du capteur de position

La structure de commande décrite précédemment dépend fortement de la bonne connaissance de la position du rotor. Tout d’abord, elle intervient dans la boucle de position. Dans ce cas, un biais de l’estimation de la position provoque une erreur statique de position, qu’il est impossible de corriger. Ensuite, le passage des grandeurs de la commande à la machine et le passage des mesures de la machine à l’algorithme de commande nécessitent un changement de repère (transformation de Park) dépendant de la position. Ainsi, une mauvaise connaissance de la position peut entraîner des inversions de sens de rotation (pour une erreur de 180 degrés ou une perte de la commande du couple (pour une erreur de 90 degrés sur la position). En outre, toute erreur sur la position implique des pertes énergétiques : pour un même courant Iq appliqué, un courant Id non nul existera qui aura pour conséquence une dissipation par effet Joule. La commande sans capteur mécanique, qui cherche à supprimer ce capteur de position par un capteur logiciel, a donc un impact non négligeable sur la précision et le rendement.

1.9 Conclusion

Dans ce chapitre, la modélisation du MSAP a été exposée. Où il est nécessaire de modéliser convenablement tout l’ensemble du système dont ici le moteur synchrone à aimants permanents (MSAP) est un élément majeur. La phase de modélisation a été destinée pour définir un modèle suffisamment fin moyennant des hypothèses simplificatrices pour décrire au mieux le comporte ment du procédé. Les différents modèles linéaires et non linéaires du MSAP en vue de sa com mande ont été donnés.

Chapitre 2

Commande sans capteur mécanique du moteur synchrone à aimants permanents

La commande des systèmes statiques ou dynamiques repose implicitement sur l’hypothèse que tout état est connu à chaque instant. Pour des raisons technologiques (de matériel, de réalisabi lité, etc), de fiabilité (panne des éléments de mesure) ou encore économiques (coût des capteurs), dans de nombreuses applications la mesure de tout l’état n’est pas possible. Il est nécessaire, à l’aide des mesures disponibles de reconstruire les variables d’état non mesurées. C’est le pro blème bien connu de l’observation. Nous retrouvons cette problématique dans un contexte plus général que celui de la commande, comme par exemple le diagnostic, la détection de panne, la sécurité où la connaissance de l’état du système peut être nécessaire.

Les observateurs sont des outils pour la reconstruction de l’état des systèmes à partir de l’ob servation de leur sorties, pour lesquels la pertinence de reconstruction de l’état dépend bien sûr de la pertinence du modèle. La possibilité de réaliser un observateur pour un système donné est étroitement liée à la possibilité d’identifier l’état à partir de l’observation des sorties du sys tème, ce qui se traduit par la propriété structurelle d’observabilité. En ce qui concerne la théorie des observateurs dans le cas non linéaire, la littérature est riche de travaux, mais peu de tech niques sont effectivement utilisables en l’état pour une large classe de systèmes. De nombreuses méthodes ont été présentées pour l’estimation de la vitesse et de la position de la MSAP. La litté rature se concentre principalement sur trois approches différentes : La première approche, basée sur la reconstruction de la position directement à l’aide d’un modèle de référence, prenant en compte ou pas les bruits des mesures et utilisant des mesures électriques. Cette voie peut aussi se décliner en beaucoup de solutions suivant le modèle de la machine utilisé(abc,dq,α β )αβ), les mesures accessibles (tensions simples, tensions composées, courants de ligne, tension continue de l’onduleur, etc.) ou encore suivant la nature de l’observateur (filtre de Kalman, observateur de Luenberger, observateur en régime glissant, observateur à redondance analytique, etc.[1][20].

La première partie du chapitre est une introduction au problème d’observabilité et de synthèse d’observateurs pour le moteur synchrone à aimants permanents sans capteur mécanique abordé par la suite. Les méthodes saillants sont brièvement discutés.

2.1 Observabilité du MSAP

L’observabilité du moteur synchrone à aimants permanents est traitée dans[7], Il est évident que l’analyse de l’observabilité des systèmes linéaires est relativement simple. Par contre, cette ana lyse dans les cas non linéaires est complexe car l’observabilité peut dépendre de l’entrée du

système et qu’il peut y avoir des singularités d’observation dans l’espace d’état. La machine syn

chrone à aimants permanents est fortement non linéaire.

Nous verrons que lorsque la mesure de vitesse est effectuée, le système est localement obser vable. Par contre, lorsque la mesure de vitesse n’est pas autorisée, l’observation de la vitesse mécanique se heurte à des problèmes d’observabilité à basse vitesse. Nous donnons ici quelques éléments sur ce sujet et nous montrons dans le cas où la vitesse est non mesurée, la possibilité ou pas de retrouver l’observabilité du système en utilisant les dérivées d’ordre supérieures des mesures.

2.1.1 Observabilité avec mesure de la vitesse et de la position

Lorsque la vitesse et/ou la position est mesurée, le modèle de la machine synchrone donné au chapitre I est réécrit comme suit :

x1 

 Id 

h1 

x1 

Vd 

(2.1)

x = x

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