Bonsoir, nous sommes le 15/12/2018 et il est 22 h 30.


On sait bien comment construire une topologie sur un ensemble à partir d’une pseudo-métrique donnée sur cet ensemble, d’une base donnée ou d’une sous-base donnée.


Dans ce travail, nous allons examiner la construction des topologies sur les familles des parties fermées non vides d’un espace topologique. De telles topologies, pour être plus intéressantes, doivent évidemment avoir un lien de compatibilité avec la topologie sur l’espace de départ (voir ci-dessous) et dans ce cas on les appelle hypertopologies.



Beaucoup de travaux relatifs aux hypertopologies ont déjà été réalisés, notamment par E. Michael [4], G. Beer [1], M. Marjanovic [2], W. Kubis, K. Sakar et M. Yaguch [8]. Pour le cas de [1], l’hypertopologie est construite sur une sous-famille propre de la famille de fermés non vides d’un espace de Banach.



Nous allons pour notre part examiner quatre hypertopologies à savoir l’hypertopologie de Viétoris, l’hypertopologie de Fell, l’hypertopologie de Wijsman et l’hypertopologie de Hausdorff.



Nous adoptons la notation suivante : (X, τ) étant un espace topologique, nous désignons par Fe_τ(X) la famille de parties non vides de X qui sont fermées par rapport à τ. Une topologie t sur Fe_τ(X) sera dite une hypertopologie si et seulement si l’application f qui à x ∈ X associe {x}, est un homéomorphisme de X sur {{x} : x ∈ X} ≡ E par rapport à τ et t_E = trace de t sur E. Dans ces conditions l’espace (X, τ) ne peut pas être quelconque puisque clairement les singletons doivent alors être fermés par rapport à τ.

A part la notation Fe_τ(X) nous avons suivi [1, 2, 4, 5, 8] dans la manière d’introduire les hypertopologies sur Fe_τ(X). Pour alléger la présentation de notre travail nous ne regroupons au chapitre I que quelques résultats préliminaires sur la topologie générale et l’analyse infinitésimale, les autres résultats seront rappelés dans les chapitres suivants au fur et à mesure qu’on en aura besoin.



Les deux principaux outils que nous utiliserons dans ce travail pour généraliser l’hypertopologie de Hausdorff à partir d’un ensemble de métriques sont énoncés sans démonstration dans notre théorème II.4.1 car nous les avions démontrés en détail dans [3].


GENERALITES SUR LES HYPERTOPOLOGIES

La matière de ce chapitre se trouve dans la plupart des ouvrages sur la topologie générale dont nous avons cité quelques-uns dans la bibliographie. Nous présenterons surtout les propriétés que nous allons utiliser dans la suite du travail.


DEFINITION D’UNE (SEMI-) METRIQUE

Si X est un ensemble alors par une semi-métrique [ou semi-distance, ou pseudo-métrique, ou pseudo-distance] sur X on entend une fonction réelle d : X^2 → ℝ tel que :
d(x, y) ≥ O, pour tout x, y ∊ X
d(x, x) = 0, pour tout x ∊ X
d(x, y) = d(y, x), pour tout x, y ∊ X
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), pour tout x, y, z ∊ X.
On appelle (d), l’inégalité triangulaire.





(2). Si X est un ensemble alors par une métrique [ou une distance] sur X. on entend une semi-métrique d sur X tel que : Pour tout x, y ∊ X, d(x, y) = 0 ⇒ x = y



(3). Par un espace semi-métrique on entend un couple (X, d) tel que X est un ensemble et d est une semi-métrique sur X. Par un espace métrique, on entend un couple (X, d) tel que X est un ensemble et d est une métrique sur X.



(4). Si (X, d) est un espace semi-métrique avec w ∊ X et 0 < ε ∊ ℝ, on définit les ensembles suivants :



B(w, ε, d, X) = {x ∊ X : d(x, w) < ε } ; la boule ouverte centrée en w et de rayon ε. B ⃑(w, ε, d, X) = {x ∊ X : d(x, w) ≤ ε} ; la boule fermée centrée en w et de rayon ε. S(w, ε, d, X) = {x ∊ X : d(x, w) < ε } ; la sphère de centre w et de rayon ε.


LES PROPRIETES DES BOULES DANS UN ESPACE SEMI-METRIQUE

Soit (X, d) un espace semi-métrique, w ∊ X et 0 < ε ∊ ℝ. Si v ∊ B(w, ε, d, X) alors le réel r ≡ ε – d(v, w) est > 0, et on a B(v, r, d, X) ⊂B(w, ε, d, X). Si u ∊ X\B ⃑(w, ε, d, X) alors le réel t ≡ d(v, w) – ε est > 0, et on a B(u, t, d, X) ⊂B ⃑ (w, ε, d, X).


DEFINITION : LA NOTION D’UNE BASE OU D’UNE SOUS-BASE D’UNE TOPOLOGIE [OU D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE].

Soit (X, τ) un espace topologique On dit d’une famille 𝒜 ⊂ 𝒫(X) que c’est une base de τ-ouvert ou de l’espace topologique (X, τ) si et seulement si : {█(A⊂ P(X)@∀T∈τ ∃M⊂A tel que T=⋃M)┤

(2) On dit d’une famille ℬ ⊂ 𝒫(X) que c’est une sous-base de τ-ouvert de l’espace topologique (X, τ) si et seulement si {∩ℰ : ℰ = finie ⊂ ℬ} est une base de τ.



On suppose connu : la notion d’une topologie, d’un espace topologique, d’une base, d’une sous-base, des voisinages, de l’intérieur, de l’adhérence, des fermés, d’ouverts, de la continuité, du premier axiome de dénombrabilité [1AD], du second axiome de dénombrabilité [2AD], d’un système fondamental de voisinages (SFV), des axiomes de séparation,…




THEOREME : UNE METHODE GENERALE DE CONSTRUCTION D’UNE TOPOLOGIE

Soit X un ensemble non vide et 𝒜 ⊂ 𝒫(X) tel que (h_1) X = ⋃𝒜 et (h_2) ∀A ∈ 𝒜 ∀x ∈ A∩B ∃D ∈ 𝒜 tel que x ∈ D ⊂ A ∩B. Dans ces conditions la famille τ ≡ τ(𝒜) = {⋃ℰ : ℰ ⊂ 𝒜} est une topologie sur X de base 𝒜.

THEOREME : UNE CARACTERISATION DES VOISINAGES EN TERMES D’UNE BASE Soit (X, τ) un espace topologique, 𝒜 une base de τ. Etant donné M ⊂ X on aura M est un τ-voisinage de v ∈ X pour τ ssi ∃ H ∈ 𝒜 tel que v ∈ H ⊂ M.


TOPOLOGIE ENGENDREE PAR UNE SEMI-METRIQUE

Soit X un ensemble et d une semi-métrique sur X.
Définissons 𝒜 = {B(x,ε,d,X) : x ∈ X et 0 < ε ∈ ℝ} et soit τ_d = τ(𝒜) = {⋃ℰ : ℰ⊂ 𝒜}.
τ_d est une topologie sur X de base 𝒜, on appelle τ_d la topologie engendrée par d, ou la topologie associée à d.
Etant donné T ⊂ X et w ∈ X on a : T est τ_d –voisinage de w ssi ∃ un réel ε >0 tel que B(x,ε,d,X)⊂T ssi ∃ un réel r >0 tel que ¯B(w,r,d,X)⊂T.
Etant donné T⊂X on a : T ∈ τ_d ssi
∀w (w∈T ⟹ ∃un réel ε>0 tel que B(w,ε,d,X)⊂T).
Si w ∈X, chacune des familles suivantes est un SFV de w par rapport à τ_d et chaque membre dans chacune de ces familles est τ_d-ouvert.
B_1 = { B(w,ε,d,X) : 0 < ε∈ℝ} ;
B_2 = { B(w,r,d,X) : 0 < r∈ℝ} ;
B_3 = { B(w,1/n,d,X) : 0 < n∈ℕ} ;
Donc (X, τ_d) vérifie le 1AD.
Si de plus d est une métrique alors ∀u, v ∈ X tel que u ≠ v ∃τ_d-voisinage G de w ∃τ_d-voisinage H de v tel que G ∩ H = ∅.
Preuve : cfr [7]



















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